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1、第二章 复变函数的积分 2.1 复变函数的积分复平面上的路积分 定义: 复平面分段 光滑曲线l 上的连续函 数 f(z)，作和 A xyo Bz0znlz1zk-1zkk1存在且与k的选取无关, 则这个和的极限称 为函数f(z) 沿曲线l从A到B的路积分，记为即若2分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy参数形式：曲线l 的参数方程 x=x(t), y=y(t), 起始点A 和结束点 BtA, tB3几个重要性质 1。常数因子可以移到积分号之外2。函数和的积分等于各函数积分的和3。反转积分路径，积分值变号 44。全路径上的积分等于各分段上的积分之和即： 如果 l=l1+
2、l2+ln5。积分不等式1：6。积分不等式2：其中 M 是 |f(z)| 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。5例 计算积分 解一般言,复变函数的积分 不仅与起点和终点有关, 同时还与路径有关.oxyl1l1l2l211+ii62.2 柯西（Cauchy）定理研究积分与路径之间的关系（一）单连通域情形 单连通域 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f(z) 在 闭单连通区域 中单值且解析， 则沿 中 任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 的边界l), 函数的积分为零。7oxylco证明：由路径积分的定义：因 f(z)
3、在 上解析，因而 在 上连续，8对实部虚部分别应用格林公式将回路积分化成面积分又u、v 满足C-R条件 故9推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连 通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭 合曲线C (也可以是 的边界)，有（二）复连通域情形 如果区域内存在： （1）奇点 ；（2）不连续线 段； （3）无定 义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来， 形成带孔的区域-复连通区域。10一般言，在区域内，只要有一 个简单的闭合围线其内有不属 于该区域的点，这样的区域便 称为复连通域区域边界线的正向 当观察者 沿着这个方向前进时，区域 总是在观察者的
4、左边。 xy l1l2l3l0Bo11复连通区域的Cauchy 定理：如果 f(z) 是闭复连通区域 中的单值解析 函数，则l 为外边界线， li为内边界 线，积分沿边界线正向证：作割线连接内外边界线 1213即14柯西定理总结：1。若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合 曲线C(也可以是 的边界)的积分为零； 2。闭复连通区域上的单值解析函数沿所有 内外境界线正方向的积分为零； 3。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境 界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线 逆时针方向积分之和；15由Cauchy 定理可推出： （与开头呼应！） 在闭单连通区域或复连通区
5、域中解析的函数 f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而 与积分路径无关。16证明：由图可知其中 表示C2 的反方向。由积分的基本性质可得：ADBC2C117最后可得：只要起点和终点固定不变，当积分路径 连续变形时（不跳过“孔”）时，函数的 路积分值不变182.3 不定积分（原函数） 根据 Cauchy 定理，若函数f(z)在单连通 区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲 线 l 的积分 只与起点和终点有 关，而与路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了 一个单值函数 F(z): 19F(z) 的性质： (1) F(z) 在B上是解析的； (2) 即 F(z)
6、 是f(z) 的一个原函数。原函数不是唯一的，但原函数之间仅仅相差一 常数，这一常数决定于起点 z0。 可以证明：20例一：计算积分解：（1）当 n-1 时， zn 的原函数是 z(n+1)/(n+1) 故（2）当 n=-1 时，z-1 的原函数是 ln(z), 故21注意：此积分与路径有关系！因为z=0 是 1/z 的一个奇点。 一般：如果 被积函数有奇点，则由不定积 分给出的函数可能是多值的。被积函数的 奇点，可能是该函数的支点。22例二：计算积分其中 C 是正向圆周|z|=a 0. 解：显然函数ezsinz 在复平面上处处解析， 由Cauchy 定理知 故注意：此题若用复积分的计算公式， 则非常复杂，甚至可能得不到结果！23例三（非常重要）：计算积分 I( n 为整数）解： （1）如果 l 不包 含 点，被积函数总解析, 按柯西定理， I=0;(2)如果 l 包含 点, 又要分两种情况：(a) n0, 因被积函数 解析， 故 I=0;(b) n0:解：令 则 因此（1）若 |a| ,在圆 内解析，由 Cauchy 公式， aC39
