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1、 Department of Mathematics第三章 复变函数的积分第3.1节 柯西定理1、复变函数的积分2、几个引理3、柯西定理复变函数的积分设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简 单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续 函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从 到Z的次序排列的。 如果 是 到 的弧上任意一点，那么考 虑和式复变函数的积分复变函数的积分 分实部与虚部，有或者在这里 分别表示的实部与虚部。复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C 上的分点个数无穷增加，
2、而且时，上面的四个式子分别有极限：这时，我们说原和式有极限复变函数的积分这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为因此，我们有复变函数的积分如果C是简单光滑曲线：，并且 ，那么上式右边的 积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一 个可以写成因此，我们有复变函数的积分我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接 得到上式，因此有当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到 这些结论。复变函数的积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单 曲线C上连续，则有（1）（2）（3）其中曲线C是由光滑的曲线 连接而成；（4） 积分是在相反的方向上取的。复变函数的积分的性质：如果C是一条简单闭
3、曲线，那么可取C上任意一 点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分 的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲线C的长 度，其中M及L都是有限的正数，那么有，证明：因为两边取极限即可得结论。例1例1、设C是连接 及Z两点的简单曲线，那么如果是C闭曲线，即 ，那么积分都是 零。例2例2、设C是圆 ，其中 是一个复 数， 是一个正数，那么按反时针方向所取 的积分证明：令 于是 从而 几个引理 引理2.1 设f(z)是在单连通区域D内的解析函 数。设C是D内的一个多角形的周界。那么在这里沿C的积分是按反时针方向取的。证明：先对C是三角形周界的情形进行证明， 然后证明一
4、般情形。引理的证明 （1）C为三角形的周界设下面证明M=0。 等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分 点，给定的三角形被分成四个全等的三角形，我们显然有：引理的证明 因此，沿周界 的积分中，至少有 一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为对于这个三角形周界为 ，我们也把它等分成 四个全等的三角形，其中一个的周界 满足把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界：一个三角形序列，其中每一个包含后一个，而且 有下面的不等式：引理的证明用U表示周界 的长度，于是周界 的长度是现在估计 的模。 由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的 全部三角形，而且因此由数学分析中的闭区域套定理，得存在着 一点 属于
5、序列中的所有三角形。引理的证明 又因为f(z)在 有导数 ，所以使得当 时于是当 时显然，当n充分大时，所确定的圆盘内，因此当 时，上式成 立。引理的证明且有 ，所以其次，由于 ，我们有于是当n充分大时，引理的证明 因此由于的任意性，我们得到M=0。即引理的证明 (2) C为一个多角形的周界 P：如图，用对角线把以P为 周界的多角形分成若干个三 角形，就可以把沿P的积分 表示成沿这些三角形周界 的积分之和：因此每条对角线上积分彼此相互抵消，再利用第 一步的证明，有原函数设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数， F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内，有 F(z)=f(z)，那么函数F(z)
6、称为f(z)在区域 是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相 差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z) 的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数 。事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D 内的原函数，则有原函数其中 ，我们已经证明，在D内 ，有，因此凸区域：区域D是一个凸区域，如果连接D中任 意两点的线段也包含在D内，即引理2.2 引理2.2 设f(z)是凸区域D内的解析函数，那 么f(z)在D内有原函数。证明：取定 ，任取 ，由区域D的 凸性，有连接 及z的线段一定包含在D中。令记为 。则F(z)是在D内确定的一个 函数。下面证明F是f在D内的一个原函数。取 ，连接 及z的线
7、段一定包含在D中。 考虑顶点为 的三角形，由引理2.1，得其中所以由于f(z)在 连续， ，使得于是，从而有引理2.3 引理2.3 设f(z)是区域D内的连续函数，并且 在D内有原函数F(z)。如果 ，并且C 是D连接 的一条曲线，那么注解1、此引理说明，如果某一个区域内的连 续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的 积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛 顿-莱布尼茨公式的推广；注解2、这时，积分值只与曲线的起点、终点 有关，而与积分路径无关。引理2.3的证明： 证明：如果曲线是C光滑曲线那么有因为，并且因为微积分基本定理对实变量复值 函数显然成立，所以如果曲线是分段光滑的曲线，那么分段计
8、算， 也可以证明结论成立。柯西定理 定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数，（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。 （2） C是在D内连接 及z两点的任一条简单曲 线，那么沿C从 到z的积分值由 及z所确定， 而不依赖于曲线C，这时，积分记为.柯西定理的证明： 证明：先证明(1)成立。在C上任取一点 ，可 以作出圆盘：因为圆盘是凸区域，由引理2.2，f(z)在内 有原函数 。 由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖 定理，存在有限个圆盘覆盖了C；把这些圆盘 按反时针方向依次排列为柯西定理的证明： 并且用表示f(z)在这些圆盘中的原函数。取其中
9、是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有柯西定理的证明这里，用 表示沿C从 的弧上的积分，用 表示从 的线段上的积 分。由引理2.3，有因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1 ，得柯西定理证明 下面证明（2）成立。设 是在D内连接 及z 两点的另一条简单曲线。则 是D内的 一条简单闭曲线，由（1），有而所以定理的结论成立。 定理3.1 定理3.1 设C是一条简单闭曲线，函数f(z) 在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么定理3.2 设f(z)是单连通区域D的解析函数， 那么f(z)在D内有原函数。 证明：取定 ，由定理3.1，得是在D内确定的一个函数。取 充分接近，把定理3.2的证明：
10、D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其 中一条是另一条曲线 与连接及z的线段的并 集。于是有这里积分是沿 及z的联线取的，同样可证， 有例1 例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且 那么其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平 面上沿从a出发的任何射线割开而得得区域内 ，我们有其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分 支在z及 的值。柯西定理的注解：注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分； 注解2、区域的单连通性不能直接取掉。 注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有 n+1条简单闭曲线 曲线 中每一条都在其余曲线的外 区域内，而且所有这些曲线都在 的内区域，围成一个有界多连
11、通区域D，D及其边界构成一个 闭区域 。柯西定理的注解：设f(z)在 上解析，那么令C表示D的全部边界， 我们有其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿 按反时针方向，沿 按顺时针方向取 积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一 同运动时，区域D总在它的左侧。因此柯西定理的注解：也有：柯西定理的注解： 注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后， 我们总是规定取正向，除非另有说明； 注解5、多连通区域内的不定积分与多值函数： 设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接 及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样 的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因 此不能应用柯西定理，所以f
12、(z)沿这两条曲线的 积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么 函数：是多值的。柯西定理的注解：可是z当属于包含在D内的某一单连通区域D 时，取曲线如下：从 沿一个固定的简单曲线 到D内一点，然后从沿 在D内一条简单曲 线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在 D内解析。改变从 的曲线，我们能够 得到不同的解析函数；它们是F(z)在D内的 不同解析分支。作连接 的两条简单曲线 ，取定 Argz在 的值为 。例2： 例2、在圆环内 解析，在D内取定两点当z沿 从 连续变动到 时，z的幅角从连续变动到 。 于是当z沿 从 连续变动到 时，z的幅 角从 连续变动到 。例2现在求 沿的 积分。令 ，则从而例2：同样求得这样，在含 的一个单连通区域 （在D内）内 ，相应 ，多值函数有两个不同的解析分支相应于连接 的其它曲线，还可得到F(z) 在D内的其它解析分支，F(z)就是对数函数。Its The End！Thank You ！Complex Function Theory Department of Mathematics
