波函数和波动方程

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1、第二章 波函数和波动方程w 德布罗意假设w 不确定关系w 波函数的统计诠释w 态叠加原理w 薛定谔方程量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程德布罗意假设 (1)w 普朗克与爱因斯坦的光量子论考虑到光具有 波动与粒子两重性。 w 玻尔的量子化条件w 德布罗意根据类比的方法，设想实物粒子也 可能有粒子与波动两重性。 物质波量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程德布罗意假设 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 粒子对动量p对应w 对能量E对应宏观领域的物质波w 一颗质量为10g的子弹，飞行速度为900ms-1波动性不显著量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程微观领

2、域的物质波w 动能为70MeV的质子(mc2=938.3MeV)在非相对论情形下波动性可测量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程计算单位量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程戴维孙-革末实验量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程布喇格散射公式Braggs formulawn=1,2,3, wa为横竖晶格常数量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的德布罗意波长 (1)w 非相对论近似下量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的德布罗意波长 (2)w 镍晶体 a=0.215nm w 若入射电子能量Ek=54eV与实验结果吻合量子力学与原子核物理第二章 波函数和波

3、动方程微观粒子的状态w 经典力学的决定性观念经典力学中，对于 一个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定 初始条件，即t=0时的确切位置与动量， 那 么在以后任意时刻粒子(或系统)的位置 与动量 唯一确定的。w 量子力学中与物质波相联系的不仅有一个波 长，而且还有一个振幅， 称之为波函数。 量子力学中微观粒子的状态用波函数 表示。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 波函数的数学描述?w 波函数的物理意义?我们的问题量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程自由电子对应的物质波w 戴维孙-革末实验的结果可以由两个假设解决 布喇格散射公式 德布罗意假设 w X射线散射实验的结果可以由布

4、喇格散射解释w 根据类比，我们假设自由电子对应的物质波 可以由平面波的形式描述。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程描述自由粒子的波函数 (1)w 我们继续假定自由粒子对应的物质波由平面 波的形式描述。w 一维自由粒子的波函数由平面波的形式描述 。而且我们采用复数的形式。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程描述自由粒子的波函数 (2)单色波确定动量和能量w 对于自由粒子量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程子弹的双缝实验 (1)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程子弹的双缝实验 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程水波的双缝实验 (1)量子力学与原子

5、核物理第二章 波函数和波动方程水波的双缝实验 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的双缝实验 (1)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的双缝实验 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程波粒两象性w 描述单个粒子的波函数为 ，是位置 和时间t的函数 w 电子的双缝实验中, 从屏上的衍射花纹得到 的波长和德布罗意波一致，证实电子的波动性 。w 在经典理论中，粒子性和波动性是排斥的。w 在量子力学中，粒子性和波动性兼容。 波粒两象性w 波函数是波粒两象性的体现。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程电子的双缝实验 (3)(a) 28 Electron

6、s(b) 1,000 Electrons(c) 10,000 Electrons(d) Millions of Electrons量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 如果在同一时刻电子几乎一个一个地通过狭 缝，在足够长的时间后同样得到衍射花纹， 说明波并非由大量粒子组成。 w 衍射花纹也是大量粒子同一时间条件的统计 结果 w 在底板上r点附近衍射花纹的强度 在r点附近感光点子的数目 在r点附近出现的电子的数目 电子出现在r点附近的几率 几率密度量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程波函数的统计诠释 (1)w 量子力学中，对于微观粒 子，我们不能同时确定它们 的位置和动量大量粒

7、子处于同一时 间条件的统计结果玻恩的统计解释给定时刻t， 在体积元 到 中发现粒子的几率由下式决定量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程波函数的统计诠释 (2)w 波函数的几率解释不是，也不可能从什么地 方推导出来。w 波函数的几率解释是量子力学的基本原理之 一，也就是一个基本假设。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程归一化条件w 要求波函数 有界 单值 连续量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程不确定关系 (1)海森伯不确定关系w 对于微观粒子，我们不能同时确定它们的 位置和动量。w 另外的表达方式量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程不确定关系 (2)w px=0

8、 x w x=0 px 例如具有确定动量的自由粒子，其波函数为 平面波形式，位置是完全不确定的。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程谐振子的基态能级量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程氢原子的基态能级量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程态叠加原理 (1)w 若体系处于 描述的状态下，测量某力学量A所 得结果是一个确切的值 w 若体系处于 描述的状态下，测量某力学量A所 得结果是一个确切的值 (n=1,2,)w 为常数w 则 称为 的线性叠加态。 态也是体系可能处于的状态。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程态叠加原理 (2)w 在 态下，测量A所得结果既可能为

9、，也可能为 . 而测得 的相对几率是完全确定的，它们分别是量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程光子的偏振态的叠加 (1)w 设有一束线性偏振光，射向一个理想的电气 石晶片 w 情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光 束将全部通过。 w 情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光 束将被完全吸收。 w 情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光 束部分通过:量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 现在考虑只有一个光子入射w 情况(a) 光子将通过晶片，能量及偏振态均不 发生变化。w 情况(b) 光子将被完全吸收，晶片后观测不到 光子。w 情况(c) 在晶片后有时观测到一个整个光

10、子， 有时没有。光子通过晶片的几率为量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程光子的偏振态的叠加 (2)相同态的叠加w 是两个相同状态的线性叠加。w ,和描述的相对几率分布是完全相同的。w 在量子力学中,和描述体系的同一个状态。w 这是和经典力学不同的地方。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程薛定谔方程的引入 (1)w 描述一维自由粒子的波函数w 非相对论情形量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程薛定谔方程的引入 (2)w 描述一维自由粒子的波函数满足下述波动方程w 薛定谔假设在势场V(x,t)中运动的一维自由粒子的波函数满足V(x,t)=0量子力学与原子核物理第二章 波函数和

11、波动方程薛定谔方程的引入 (3)w 在三维情况下，薛定谔继续假设下式成立其中w 上式称为薛定谔方程，是描述体系波函数 满足的波动方程量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程w 边界条件 波函数 及其导数 在边界处保持连续。w 归一化条件 粒子在整个空间出现的几率 为1边界条件和归一化条件量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (1)w S方程：其中w 为 的复数共轭, 它满足量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (2)量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (3)定义：则有：量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (4)w 我们称为几率密度，w J具有几率流密度的意义，为矢量。 量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (5)w 另有积分形式：w 积分表达式的左边表示在闭合区域V内找到粒子 的总几率(或粒子数)在单位时间内的增加，右边 则表示单位时间内通过封闭曲面S而进入V的几率( 或粒子数)。量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程几率流密度 (6)w 几率(粒子数)守恒的微分和积分表达式。w 量子力学与原子核物理第二章 波函数和波动方程