《复变函数与积分变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域 D内有定义.表达式称为复变函数项级数, 记作 称为这级数的部分和.级数最前面n项的和和函数称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛, 那么它的和一定例1 求级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为级数收敛,级数发散.收敛范围为一单位圆域且有2. 幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.为简便，以下讨论幂级数 .二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那么对的级数必绝对收敛, 如果在级数发散, 那么对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍证各项有界，即存在正数M, 使对所有的n, 而从而级数由正项
2、级数的比较判别法知:收敛.那么另一部分的证明可用反证法.2. 收敛圆与收敛半径（1）对所有的复数都收敛.例如, 级数对任意固定的z, 从某个n开始, 总有于是有故该级数对任意的z均收敛.（2） 对所有的复数，除 z=0 外都发散.例如，级数通项不趋于零, 故级数发散.对于一个幂级数 , 其收敛的情况有三种:收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.（3）既存在使级数收敛的复数 , 也存在使级数发散的复数 . 由阿贝尔定理，则存在正数R，答案:幂级数的收敛范围是何区域?问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.注意问题2: 幂级数在收敛圆周上
3、的敛散性如何?例如, 级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.3. 收敛半径的求法方法1：（比值法）那么收敛半径方法2：（根值法）那么收敛半径说明:如果收敛半径公式可记为例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)所以收敛半径即原级数在圆内收敛, 在圆外发散, 收敛的级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上, 级数说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.原级数成为交错级数, 收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)所以收敛半径为例3求幂级数 的收敛半径:解解例4 求 的收敛半径.答案课堂练习 试求幂级数的收敛半径.三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算2. 幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那么当时,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.定理设幂级数的收敛半径为那么(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到, 是收敛圆内部的解析函数 .(1)3. 复变幂级数在收敛圆内的性质(3)在收敛圆内可以逐项积分, 简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分.(常用于求和函数)即例5 把函数表成形如的幂级数, 其中是不相等的复常数 .解把函数写成如下的形式:代数变形 , 使其分母中出现凑出级数收敛, 且其和为
