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1、13.3角的平分线 （1）下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距 离的是（ ）图1图2B1.思考(1)工人师傅经常用角尺平分一个任意角 .做法如下:如图,AOB 是一个任意角,在边OA,OB上 分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相 同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C 的射线OC便是AOB的平分线.为什么? 请用三角形全等的知识来说明画法的道 理.OABMNC(2)如右图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB 和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射 线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗?ADCB(3)你能用的类似方法说明画法的道理
2、吗?已知：如图，OC是的AOB的平分线，点P在OC上 ，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PEACB证明： PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）在PDO和PEO中 PD=PE（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离 相等。 AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。不必再证全等例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过
3、点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 FBM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等练一练BACPNM如图，河南区一个工厂，在公路西侧，到 公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上 公路桥较近桥头的距离为300米。在图上标出工 厂的位置，并说明理由。北比例尺1：20000OABCP300mA A作法:以O为圆心,适当长为半 径作弧,交OA于M,交OB于 N.分别以M,N为圆心,大于 MN的长为半径作弧,两弧 在AOB的内部交于点C.作射线OC,射线O
4、C即为 所求.122 .做一做 由上面的探究可以得出作已知角的方法. 已知:AOB. 求作:AOB的平分线.（2）用三角尺按下面方 法画角平分线：在已知的 AOB的两边上，分别取 OM=ON，再分别过点M ，N做OA，OB的垂线， 交点为P，画射线OP，则 OP平分AOB。为什么 ？再探究结果可得到： PMOA，PNOB，且 PM=PN。AMNOPB3.练一练: 平分平角AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后,把它 反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?看一看当拖动AOB平分线OC上的点P时，观察 PM,PN(PMOA,PNOB)度量值的变化 规律,发现:PM=PN,即“在角平分
5、线上的点到角 的两边的距离相等”的事实”,ABOAO EBCPD将AOB对折,在折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后 展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的 两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个 距离相等.折一折试一试当拖动AOB内部的点P时，在保持 PM=PN（PMOA，PNOB）的前 提下，观察点P留下的痕迹，发现：射线OP是AOB的平分线，要求学 生利用三角形全等知识解释如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命 题，这是一个真命题吗？到一个角的两边距离相等的点，在这个 角的平分
6、线上。已知：如图，PDOA，PEOB，垂 足分别是D，E， PD=PE。求证：点P在AOB的平分线 上。由此得出角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。由此得出角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等,离公 路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何出(在图上表 出它的位置,比例尺为1:20 000)? 分析:把公路.铁路看成两条相交线, 先作其交角的平分线OB(O为顶点), 再在OB上作OS,使OS=2.5厘,点S即 为所求.由此得出角平分线的判定定理到角的两边的距离相等的点在角的平分线上OBS解一解由此得出角平
7、分线的性质例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、 FBM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等练一练BACPNM应用与拓展1.在ABC中,C=900,AD平分BAC交BC 于点D,若BC=8,BD=5,则点D到AB的 距离为多少?2.能用尺规作出一个450的角吗?DACEB3.已知：OD平分AOB，在OA， OB边上取OA=OB，PMBD， P
8、NAD，求证：PM=PNMD12340BNA小结1.画一个已知角的平分线2.角平分线的性质3.角平分线的判定再见配资平台 https:/ 配资平台 uxd63vzu 们能带得了的。”乔氏说：“东西不多，就几斤粉末和几把毛刷。你若不想去就不用去了！”说罢了轻轻笑一笑，对耿老爹、耿英和小青 说：“到底是大伢子了，不愿意跟着我们娘儿们转悠啊！”又点一点耿直的小鼻头，笑着说：“不像你，还就像一个跟屁虫一样呢！”小 青一边洗刷锅碗，一边偷眼瞧见耿正出门儿去了。他会去哪里呢？小青的脑瓜儿飞快地转着对啦，一定是那里，那个他特别喜欢的小树林 ！洗刷完锅碗瓢盆儿后，小青对耿英说：“英妹子，你不是想多要一些绣花的
9、图样吗，我和姆妈的手里并没有多少。这样吧，今儿个后晌 正好有时间，我去前街的绣铺里给你多找一些回来。你和直子弟弟陪同我姆妈一起上街去买那些东西吧，顺便多转悠一会儿。我是本地人 ，对上街转悠并不是多么感兴趣呢。”耿英想想也是，就感激地对小青说：“有劳姐姐费心，一定多给我找一些回来啊！”看到小青似乎 有些心不在焉的样子，一边胡乱地点头答应着，一边打开柜子取了件什么小东西揣在怀里就急匆匆地出门去了，耿英的心里不禁“咯噔” 了一下。她皱着眉头想一想，实在想不出个所以然来，但又总感觉这事情好像有些个不对头呢。莫不是她和哥哥早就商量好了，要一起去 哪里说话去？又一想，这绝对不可能啊，哥哥怎么可能忘记了绣儿
10、姐姐呢！带着满腹的狐疑和不解，耿英和弟弟陪同乔氏一起上街去了。 106第三十六回 乔氏得知耿家事|（乔氏好心助开店，遭到拒绝悲哭夫；劝解饮泪思亲人，乔氏得知耿家事。）耿老爹的身体日益好起来， 五间新屋里亮上的石灰泥也早已经完全干透了。于是，耿老爹就开始考虑进行屋内刷白了。无奈乔氏一再阻拦，说屋内刷白的事情不着急 ，一定要耿老爹多休养一些日子再说。耿正明白爹爹的心情，就私下里对他说：“爹，娘娘说得对，你是应该多休养一些日子的。不过， 我和英子，还有小直子都早就歇息好了，老这样闲着也没有意思。这样吧，现在地里还没有长出多少新鲜蔬菜呢，从明儿个开始，我们三 个还是继续做一些贩卖水果的生意，你就只管放心地在家里休养着吧。”耿老爹说：“行啊，那你们就先这么着做着吧。爹再休养几天也 好，以前可是从来不生病呢。”晚上临睡前，耿老爹问耿英和耿直：“你俩可愿意从明儿个开始再做一些贩卖水果的生意？”俩人都说： “早就歇息好了，还是再做吧，多多少少的能赚点儿总比闲待着要强一些呢！”耿英还特别嘱咐耿老爹：“爹，我们不在家的时候，你不 要睡地铺了，在床上歇着啊！”耿老爹点头答应，说：“好，我一定睡床上歇着！”第二天的早饭桌上，耿老爹把耿正的这个打算告诉了 乔氏。乔氏想一想说：“这样倒也行的。不过啊，正伢子，你们三个可不要着急上火，能赚多少算多少。等
