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1、二项式定理Binomial theorem引入课题今天是星期四，试 问22012天之后是星 期几呢？引入课题1.(ab)2和(ab)3展开后分别等于 什么？(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3. 2.对于ab，(ab)2，(ab)3， (ab)4，(ab)5等代数式，数学上统 称为二项式(binomial)，其一般形式为 (ab)n（nN*）.由于在许多代数问题 中需要将它展开，因此，研究(ab)n展 开后的表达式的一般结构，就是一个具 有重要意义的课题.探究（一）：二项式定理 问题1：将(ab)2(ab)(ab)按多 项式乘法法则展开，每个括号内各取一 个数相乘得到展
2、开式中的一项，根据分 步计数原理，在合并同类项之前共有多 少项？其中不取b，取一个b和一个a，取 二个b的项数用组合数分别怎样表示？由 此可得(ab)2的展开式是什么？问题2：类似地，将(ab)3(ab) (ab)(ab)按多项式乘法法则展开， 在合并同类项之前共有多少项？其中不 取b，取一个b和二个a，取二个b和一个a ，取三个b的项数用组合数分别怎样表示 ？由此可得(ab)3的展开式是什么？问题3：在(ab)4(ab)(ab)(a b)(ab)的展开式中，有哪几种形式的 项？合并同类项之后各项的系数分别是 什么组合数？由此可得(ab)4的展开式 是什么？问题4：根据归纳推理，你能猜测出 (
3、ab)n(nN*)的展开式是什么吗？ 问题5：如何证明这个猜想？ (a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。对于每一项an-kbk ，它是由n-k个(a+b)选了a， k个 (a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b) 中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项 展开式，这就是二项式定理。由分步计数原理可知展开式共有2n项 （包括同类项），其中每一项都是an-kbk的形式，k=0，1，n；定理的证明问题6：公式叫做二项式定理binomial theorem ，等式右 边叫做二项
4、展开式，其中各项的系数 (k 0，1，2，n)叫做二项式系数binomial coefficient ，那么二项展开式在结构上有哪 些基本特征？共有n1项；字母a的最高次数为n且按降幂 排列；字母b的最高次数为n且按升幂排列； 各项中a与b的指数幂之和都是n；各项的二项 式系数依次为 ，且与a，b无关.问题7：根据二项式定理，(1x)n (nN*)等于什么？问题8：(ab)n(nN*)的展开式是什么 ？探究（二）：二项展开式的通项问题1：在二项展开式中，用Tk表示从左 到右第k项，那么Tk和Tk1分别等于什么 ？ 问题2：在(ab)n的二项展开式中，叫做二项展开式的通 项，那么(ab)n的二项
5、展开式的通项是 什么？问题3：(2x3y)20的二项展开式的通项 是什么？问题4：(12x)7的展开式中第4项的二 项式系数和系数分别是什么？ 二项式系数： ，系数： . 经典范例例1 求 的展开式.例2 求 的展开式中x3的 系数.84 例3 已知 的展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为143 ，求展开式中所有的有理项.“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 课堂小结1.二项式定理是以公式的形式给出的 一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以 任意取值，也可以是代数式.2.(ab)n的展开式统一规定按a的 降幂排列，各项的系数与a，b的取值有 关，各项的二项式系数与a，b的取值无 关.3.二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具，但 需注意通项是表示二项展开式中的第 k1项.对于求展开式中某些特定的项， 一般要分析通项中字母的幂指数来解决.Homework1.Find the expansion：2. 3.4.5.选作Thank you！
