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1、二项式定理Binomial theorem引入课题今天是星期四,试 问22012天之后是星 期几呢?引入课题1.(ab)2和(ab)3展开后分别等于 什么?(ab)2a22abb2,(ab)3a33a2b3ab2b3. 2.对于ab,(ab)2,(ab)3, (ab)4,(ab)5等代数式,数学上统 称为二项式(binomial),其一般形式为 (ab)n(nN*).由于在许多代数问题 中需要将它展开,因此,研究(ab)n展 开后的表达式的一般结构,就是一个具 有重要意义的课题.探究(一):二项式定理 问题1:将(ab)2(ab)(ab)按多 项式乘法法则展开,每个括号内各取一 个数相乘得到展
2、开式中的一项,根据分 步计数原理,在合并同类项之前共有多 少项?其中不取b,取一个b和一个a,取 二个b的项数用组合数分别怎样表示?由 此可得(ab)2的展开式是什么?问题2:类似地,将(ab)3(ab) (ab)(ab)按多项式乘法法则展开, 在合并同类项之前共有多少项?其中不 取b,取一个b和二个a,取二个b和一个a ,取三个b的项数用组合数分别怎样表示 ?由此可得(ab)3的展开式是什么?问题3:在(ab)4(ab)(ab)(a b)(ab)的展开式中,有哪几种形式的 项?合并同类项之后各项的系数分别是 什么组合数?由此可得(ab)4的展开式 是什么?问题4:根据归纳推理,你能猜测出 (
3、ab)n(nN*)的展开式是什么吗? 问题5:如何证明这个猜想? (a+b)n是n个(a+b)相乘, 每个(a+b)在相乘时有两种 选择,选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。对于每一项an-kbk ,它是由n-k个(a+b)选了a, k个 (a+b)选了b得到的,它出现的次数相当于从n个(a+b) 中取k个b的组合数,将它们合并同类项,就得二项 展开式,这就是二项式定理。由分步计数原理可知展开式共有2n项 (包括同类项),其中每一项都是an-kbk的形式,k=0,1,n;定理的证明问题6:公式叫做二项式定理binomial theorem ,等式右 边叫做二项
4、展开式,其中各项的系数 (k 0,1,2,n)叫做二项式系数binomial coefficient ,那么二项展开式在结构上有哪 些基本特征?共有n1项;字母a的最高次数为n且按降幂 排列;字母b的最高次数为n且按升幂排列; 各项中a与b的指数幂之和都是n;各项的二项 式系数依次为 ,且与a,b无关.问题7:根据二项式定理,(1x)n (nN*)等于什么?问题8:(ab)n(nN*)的展开式是什么 ?探究(二):二项展开式的通项问题1:在二项展开式中,用Tk表示从左 到右第k项,那么Tk和Tk1分别等于什么 ? 问题2:在(ab)n的二项展开式中,叫做二项展开式的通 项,那么(ab)n的二项
5、展开式的通项是 什么?问题3:(2x3y)20的二项展开式的通项 是什么?问题4:(12x)7的展开式中第4项的二 项式系数和系数分别是什么? 二项式系数: ,系数: . 经典范例例1 求 的展开式.例2 求 的展开式中x3的 系数.84 例3 已知 的展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为143 ,求展开式中所有的有理项.“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数,如下表所示: 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 课堂小结1.二项式定理是以公式的形式给出的 一个恒等式,其中n是正整数,a,b可以 任意取值,也可以是代数式.2.(ab)n的展开式统一规定按a的 降幂排列,各项的系数与a,b的取值有 关,各项的二项式系数与a,b的取值无 关.3.二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具,但 需注意通项是表示二项展开式中的第 k1项.对于求展开式中某些特定的项, 一般要分析通项中字母的幂指数来解决.Homework1.Find the expansion:2. 3.4.5.选作Thank you!