有限元与数值方法讲稿

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1、1有限元与数值方法第四讲微分方程的等价积分形式授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月07日：8：0010：202基于积分方程的数值方法的基本思想o 微分提法：真实解在任意点均满足微分方程o 积分提法：对于所有可能的解（u(x)中，真 实的解应满足下式o 积分形式的近似解法：n 在有限个可能的解中，真实解的近似解为使下式 取极小的解。3微分方程的算子形式o 在域内： o 边界上：n其中，A，B1，B2为微分算子微分方程的等价积分形式p 对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的；p 如果对任意的函数v(x)，上式成立，

2、则可以证明u是微分方程的 解。4显然，如果在区域上， 几乎处处为零，则对任意的 有 或采用数学的语言描述上式成立的条件是要求函数可积。引理:如果对任意的 ，恒有则如果F(X)=0代表了微分方程，则上面定理和引理建立了微分方程 和其积分形式之间的联系(一) 预备知识微分方程的等价积分形式5等价积分形式若对任意函数列向量 有则该积分表达式与微分表达式 完全等效。同理，若对任意函数列向量 有则该积分表达式与微分表达式 完全等效。故称 为原微分方程 的等价积分形式。 6等价积分形式可积的条件：1. 单值且在域内和边界上可积分2. 若 A 的最高阶导数为n，则u 的n-1 阶导数必须连续，即u 具有 连

3、续性o等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。 n被积函数在区域上有有限个间断点，则可积右图函数是 C0 连续的，其二阶导数不可积等价积分形式7取：上式可得到简化p 对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的；p 如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分方程的 解。8积分弱形式在很多情况下，可以通过分部积分方法将前述积分方程转化为另外一个等价形式：其中，D 和 F 通常包括相对 A 和 B 较低阶的导数。这一形式称为微分方程的“弱形式”。p 解函数的连续性降低，其代价是试函数连续性要求提高了。p 弱形式经常是描述物理现象更为合理的形式，因为微分方程往 往对解提

4、出了过于光滑的要求。p 对弱形式进行积分，是有限元方法的重要基础9一维问题的弱形式例子例：受轴向分布载荷 和端部集中力 P 的均匀杆微分方程表达形式为该方程积分后可得一维问题可以通过分部积分将等价积分形式转化为弱形式显然，真实解是三次显然，真实解是三次 多项式多项式10一维问题的弱形式例子微分方程的积分等价形式为分部积分得到弱形式：设解和试函数的形式各为GalerkinGalerkin方法方法注意解已经满足强制边界条件注意解已经满足强制边界条件边界条件的等效积分形似：11自然边界条件的概念对于微分方程的等价积分形式及其弱形式，对于微分方程的等价积分形式及其弱形式，如果能通过如果能通过选择试函数

5、选择试函数消去边界积分项，将给积分带来方便。能够实现消去边界积分项，将给积分带来方便。能够实现 这一点的边界条件成为自然边界条件。这一点的边界条件成为自然边界条件。指定函数值本身的边界条件不是自然边界条件，成为强制边界条件。指定函数值本身的边界条件不是自然边界条件，成为强制边界条件。12自然边界条件的概念例如，考虑问题：例如，考虑问题：如果近似解如果近似解 满足满足x=0x=0处的边界条件，但不满足处的边界条件，但不满足x=1x=1处的边界条件，则处的边界条件，则 加权残数列式应反映域内的微分方程和加权残数列式应反映域内的微分方程和x=1x=1处的边界条件，即处的边界条件，即13自然边界条件的

6、概念第一项分部积分给出第一项分部积分给出为消去边界上未知函数的导数项，选取试函数之间满足如下关系：为消去边界上未知函数的导数项，选取试函数之间满足如下关系：这样，弱形式成为这样，弱形式成为以上弱形式中，不再出现未知函数导数的边界条件，即该边界条件在以上弱形式中，不再出现未知函数导数的边界条件，即该边界条件在 上式中自动满足，称为自然边界条件。上式中自动满足，称为自然边界条件。14归纳：强式和弱式的对比o 强式可直接求得系统方程的精确解 困难：复杂问题难以获得精确解；数值求解时，近似函数要求有与微分方程同阶的可导性。 有限差分法属于基于强式的数值方法。o 弱式降低了对近似函数的连续性要求，使得选

7、取试函数更容易； 基于弱式的方程通常是一组稳定性良好的离散方程，易于求解15二维、三维问题的积分形式16预备知识GreenGreen公式公式Dnxdxdsdydy=nxdsdx=-nyds或为推导二维或三维问题的弱形式，需为推导二维或三维问题的弱形式，需 要掌握以下积分公式要掌握以下积分公式GaussGauss定理（散度定理）定理（散度定理）17由格林公式可推导出：D所以类比于高等数学中单变量函数的分部积分公式预备知识而同理18同理，三维空间中，由此前公式可推导出：所以预备知识而同理19微分方程的等价积分形式2D稳态热传导问题的弱形式微分方程（强形式）强制边界条件强制边界条件自然边界条件自然边

8、界条件20利用格林公式2D热传导问题的弱形式dxdsdydy=nxdsdx=-nyds同理，21弱形式2D热传导问题的弱形式考虑到考虑到 ，并令，并令 ， 上式成为上式成为目的是消去自然边目的是消去自然边 界上的函数导数界上的函数导数22讨论2D热传导问题的弱形式pp自然边界条件自然边界条件 自动满足自动满足pp如果选择场函数时已经满足强制边界条件，则可通过选择如果选择场函数时已经满足强制边界条件，则可通过选择 v v 使得使得 而略去而略去23有限元与数值方法第四讲加权残数法授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月07日：8：00

9、10：2024加权残数法（Weighted Residual Method）加权残数法的基本思想是：构造包含参数的微 分方程的近似解，将近似解代入微分方程和相 应的边条件中，令得到的残差在适当加权后在 微分方程定义域上的平均值为零，从而得到确 定待求参数的代数方程式。近似解构造方法(通常取近似解为基函数的线性组合)全局分片连续权函数构造方法子域法配点法最小二乘法伽略金法矩量法25残数（内部）残数（边界）考虑微分方程和边界条件权函数( )xW加权残数法（Weighted Residual Method）近似解26此处，一个方程，n个未知数（C1Cn）加权残数法（Weighted Residual

10、 Method）27n选 n 个权函数 Wj （j=1n）j=1n n 个方程求得C1Cn加权残数法（Weighted Residual Method）28近似解构造方法o 基函数系 选择原则 n连续性 n线性无关 n正交 n完备典型的基函数系多项式三角级数梁振动振形柱稳定函数B-样条函数通常取近似解为基函数的线性组合-基函数的选择方法29o 域内残数法选取的基函数满足边界条件但不满足微分方程o 边界残数法选取的基函数满足域内微分方程但不满足边界条件o 混合残数法选取的基函数域内微分方程和边界条件都不满足按基函数的性质进行分类30o 1.子域法强迫余量在n个子域 的积分为零n个方程，求得 C1

11、Cn取子域上近似按权函数的性质进行分类31o 2.配点法取 j 个方程n当子域法中，令面积0，退化为配点法32（最小二乘法的残数方程 ）(*)对应每一点误差的平方和最小，即接近真解。3.最小二乘法（Least Square Method）33一次矩二次矩n 次矩R的 j 次矩4.矩法伽辽金方程把基函数作为权函数：5.伽辽金法（Galerkin Method）误差与解函数空间误差与解函数空间“ “正交正交” ”34以上方法的比较o 以上方法都将原问题转化为代数方程组的求解Aa=co 配点法、子域法得到的是非对称的系数矩阵A；最小二乘法、Galerkin法得到的是对称的系数矩阵A o 最小二乘法易

12、于产生病态矩阵A；并且不能通过分部积分 法降低被积函数的微分阶次，因此要求单元间函数的充 分的连续性35设n=2 时01x例题即余量为361.子域法求解：x 010.5例题解方程，得到解方程，得到不对称的系数矩阵不对称的系数矩阵372.配点法：x 00.750.2513.最小二乘法：解方程，得到解方程，得到解方程，得到解方程，得到其中其中该方程显然有对称的系数矩阵该方程显然有对称的系数矩阵384. Galerkin法：经与精确解比较，经与精确解比较，GalerkinGalerkin法结果具有较高精度法结果具有较高精度解方程，得到解方程，得到39例题：一维稳态热传导问题取近似解为取近似解为加权余

13、量法格式：加权余量法格式：40GalerkinGalerkin法：取法：取 ，代入上式中，得到，代入上式中，得到 即即显然，显然，其中其中41结果的比较42WRM推导虚功原理三维弹性固体的平衡方程和边界条件：三维弹性固体的平衡方程和边界条件：取权函数为取权函数为 ，则加权残数方程（等效积分形式）为，则加权残数方程（等效积分形式）为43WRM推导虚功原理分部积分给出分部积分给出引用虚位移（微小位移）与虚应变的关系及力的边界条件，上式可写为引用虚位移（微小位移）与虚应变的关系及力的边界条件，上式可写为此即虚功原理此即虚功原理弱形式弱形式44WRM推导虚功原理注解：注解：pp 这里假定虚位移在域内连

14、续可导，否则不能通过分部积分这里假定虚位移在域内连续可导，否则不能通过分部积分 建立等效积分的弱形式建立等效积分的弱形式pp 这里假定虚位移满足位移边界条件，否则外力虚功项中还这里假定虚位移满足位移边界条件，否则外力虚功项中还 应包括位移边界上约束反力的虚功应包括位移边界上约束反力的虚功pp 推导虚功原理的过程中，没有涉及本构关系，所以虚功原推导虚功原理的过程中，没有涉及本构关系，所以虚功原 理可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题理可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题pp 虚功原理表述了平衡条件虚功原理表述了平衡条件pp 这里给出的虚功原理是基于小变形理论的，因此不能这里给出的虚功原理是基于小变形理论的，因此不能直接直接 用于基于大变形理论的力学问题（对于大变形问题需要采用于基于大变形理论的力学问题（对于大变形问题需要采 用恰当的应力和应变度量）用恰当的应力和应变度量）45练习推导下列方程的弱形式：推导下列方程的弱形式：解：解：46作业：平面应力问题的解提示：u,v 用多项式做近似展开求：位移和应力。用最小二乘法参数a=20mmb= 10mm47作业解答