《弹塑性力学课件-07轴的扭转》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹塑性力学课件-07轴的扭转（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 轴的扭转 圆轴的弹性扭转 非圆截面杆件的弹性扭转 圆轴的弹塑性扭转 非圆截面杆件的弹塑性扭转171 圆轴的弹性扭转 应力分量： xyzoMtrxyoyxbtzxtzy tRr21.应力分量：xyoyxbtzxtzytRr 平衡微分方程平衡微分方程应力边界条件：侧面：端面：FxFyM3 用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：弹性解：42. 应变分量：53. 位移分量：67位移分量：位移条件： （1）坐标原点固定：（2）原点的单元固定： 8xyzoMtr位移分量：（1）坐标原点固定：（2）原点的单元固定：v 过原点沿 z 向的线段在 xoz、zoy 面内不转动：v 过原点沿 x 向的
2、线段在 xoy面内不转动：刚体位移为零。单位长度的 相对扭转角9平截面 假设xyuv uqqq rxyA1072 非圆截面杆件的弹性扭转一、应力分 量yxoyxbtzxtzy r 平衡微分方程平衡微分方程xyzoM11 用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程： 用扭转应力函数表示用扭转应力函数表示 的相容方程。的相容方程。 12边界条件：侧面：xodydxNds侧面边界条件：多连域：13端面：xyoyx qRr FxFyMdx dyAB14二、 应变分量：15三、位移分量： v不计刚体位移q 为单位长度的相对扭转角w1617解题步骤：（1）确定扭转应力函数：（2）确定应力函数中的待定常数：
3、（3）确定应力分量：（4）确定单位长度的扭转角及位移分量：w18xy0AiAabcdFxFyv多连体：19 例题例题1 1：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转oabxy解：解：满足：满足：M端面边界条件：20 例题例题1 1：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转解：解：应力分量：oabxyM单位长度的扭转角：21位移分量：扭杆的横截面不再保持为平面，而翘曲为曲面。oabxyM22 例题例题2 2：空心圆轴的扭转：空心圆轴的扭转o abxy解：解：满足：满足：M端面边界条件：23四、弹性扭转的薄膜比拟v 比拟 ：两个概念完全不同的问题，如果数学表达式相同， 可借助比较直观的简单问题讨论复杂的抽象的
4、问题 。v薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函 数在数学上是相似的，故可用比拟方法求扭转问题的解答 。（2）边界形状与扭杆横截面相同。（1）薄膜均匀张在水平边界上。（3）给薄膜施加均匀压力。q薄膜上的点产生垂度薄膜具有柔顺性薄膜只受表面张力作用z(x,y)24qz(x,y)公式推导：（1）建立坐标系：xyoxzo（2）取微元体：dxdy 薄膜单位长度上的张力：TTdxTdy Tdy Tdxzza bqTdyTdyab25qz(x,y)xyoxzodxdy 薄膜在周边上的挠度：TdxTdy Tdy Tdxzza bqTdyTdyab 薄膜与支承面间体积的2倍：26（1）薄膜的垂度对
5、应扭转应力函数，薄膜与支承面体积的2倍对应扭矩。 讨论：（2）薄膜在 y 方向斜率对应扭杆在同一点处 x 方向的切应力。薄膜在 x 方向斜率对应扭杆在同一点处 y 方向的切应力的大小。v 扭杆横截面上某一点沿任意方向的切应力，等于薄膜对 应点处沿垂直方向的斜率。v 最大切应力对应于薄膜斜率最大处。27v 切应力 t 等于 的梯度的模，方向沿 =const 曲线（薄膜中的等高线）的切线方向。v 的等值线称切应力迹线。v 最大切应力产生于 的梯度最大处（薄膜中等高线密度最大处）。28（3）切应力环量定理：在扭转应力函数的闭合曲线上，切应力沿其迹线的回路积分（切 应力环量）与所围面积成正比。Adst
6、证明：29（4）利用薄膜比拟不仅可用实验方法模拟扭转问题，而且有 助于寻找应力函数，分析扭杆内的应力分布情况，找出 最大切应力的位置。 例题例题3 3：矩形截面杆的扭转：矩形截面杆的扭转解：解：abx yzxabxzz(y)应力函数：应力函数：30ab xyzxxzz(y)应力函数：应力函数：M31abxy应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：M一般情况：一般情况：1234510b0.1410.2230.2630.2810.2910.3120.333b10.2080.2460.2670.2820.2910.3120.33332五、薄壁杆件的扭转1. 开口薄壁杆件biaiM第 i 个长条：（薄
7、膜比拟）332. 闭口薄壁杆件外边界：dsMxydhayxq无重刚 性平板内边界：取：A：杆壁中心线包围的面积最大切应力发生在壁厚最小处。切应力环量定理：34dsMxydq hayx等厚薄壁杆件：s ：杆壁中心线全长35 剪力流s1、 s2、s3 ：切应力t1、 t2、 t3 作用线全长. 3. 具有两个内边界的闭口薄壁杆件A1d2A2d1t1t2切应力环量定理：d3t3qh2h1 h336A1d2qh23. 具有两个内边界的闭口薄壁杆件A2d1d3h1 h3t1t2t3解答：3773 圆轴的弹塑性扭转 理想弹塑性材料：gt1.弹性极限扭矩xyzoMtrtsxyoMeR弹性解：屈服条件：382
8、. 弹塑性阶段tsxyoMeRxyoMpRtsrp393. 塑性极限扭矩xyoMpRtsrpxyoMlRts404. 残余应力：当扭矩加至 Mp 后再卸载至零，在圆轴中产生的应力。Mp :卸去的应力： （按弹性计算）残余应力：rtrR rp4174 非圆截面杆件的弹塑性扭转一、弹性解42二、全塑性解塑性应力函数平衡方程：屈服条件：Tresca ：Mises ：43全塑性条件下构件内应力函数应满足的基本方程边界条件：侧面上无面力：端面上：44讨论：v 对于理想弹塑性材料，剪切屈服极限 k 为常数， | grad p |=k 表明：应力函数 p 所代表的曲面斜率为常数。v p (x,y) 是一个等
9、倾斜面构成的多面体，其坡度为k.v 所有 p (x,y)的等值线是相互平行的，且与截面的周边界平行。v 截面上的总切应力 t 与 p (x,y) 的等值线相切。v 塑性极限扭矩Ml 是塑性应力函数所代表曲面所界体 积的 2 倍。vNadai: 沙堆比拟法。 45v Nadai 沙堆比拟法：v 作一个形状与杆件截面相同的底板。v 在底板上堆放干沙，直至不能再增加为止。v 沙子的内摩擦系数为常数，沙堆表面为斜率为常数的曲面等倾面。 ww：沙堆任意点的高度aa：沙子的内摩擦角1k46v Nadai 沙堆比拟法：wwa1k比拟条件：47 例题例题1 1：圆轴扭转的塑性极限载荷：圆轴扭转的塑性极限载荷R
10、Rh a48 例题例题2 2：矩形截面杆扭转的塑性极限载荷：矩形截面杆扭转的塑性极限载荷a/2h aa/2b-aba45o正方形：正方形： 49 例题例题3 3：空心圆截面杆扭转的塑性极限载荷：空心圆截面杆扭转的塑性极限载荷o ab比拟：沙堆外表面为等倾面，内边比拟：沙堆外表面为等倾面，内边 界处高度为常量截锥体界处高度为常量截锥体habha50三、弹塑性解弹性区：塑性区：边界条件：侧面上无面力：交界线上：51v Nadai 薄膜屋顶比拟法：v 在一平板上开一个形状与杆件截面相同的孔。v 在孔上张紧一薄膜。v 在薄膜受压力作用的上面，用透明材料作一与沙堆 比拟形成的表面相一致的等倾顶盖（屋顶）
11、 P = 0 ：膜水平1kP0 ：膜向上弯曲，弹性变形膜刚接触屋顶：弹性极限状态，截面 开始屈服。膜接触屋顶：弹塑性状态，相贴部分 薄膜具有等倾斜率为塑 性区；未接触部分为弹 性区。P52 矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟弹塑性阶段弹性阶段全塑性阶段塑性区弹 性 区531. 1. 边长为边长为 a a 的等边三角形截面杆件，受的等边三角形截面杆件，受 扭矩扭矩 M M 作用，求最大切应力和单位长作用，求最大切应力和单位长度扭转角。度扭转角。2. 2. 试求图示等宽截面柱体的弹性极限扭矩和塑性极限扭矩及抗试求图示等宽截面柱体的弹性极限扭矩和塑性极限扭矩及抗扭刚度。扭刚度。柱体扭转a ax xy yO O2a2aa aa at ta aa a3. 3. 试用沙堆比拟法求正三角形、正六边形的塑性极限扭矩。试用沙堆比拟法求正三角形、正六边形的塑性极限扭矩。54作业v74 v75 v76 v7855
