[2017年整理]工程力学—第九章 扭转

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1、工程力学工程力学彭雅轩彭雅轩* *第九章 扭 转o基本概念o动力传递与扭矩o切应力互等定理与剪切虎克定律o圆轴扭转横截面上的应力o圆轴扭转破坏与强度条件o圆轴扭转变形与刚度条件第一节 引 言o扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要 特征的变形形式，称为扭转。 第一节 引 言o扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。扭力偶矩：使杆产 生扭转变形的外力 偶之矩。第一节 引 言o轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。 第一节 引 言o扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移称扭转角。 功率、转速与扭力偶矩之间的关系 第二节 动力传递与扭矩 式中： P=M功率，即力偶在单位时间内 所作之功 ，单位为kW（

2、千瓦）； M力偶矩，单位为Nm（牛顿米） ； 相应角速度； n轴的转速，单位为r/min（转 分），或r/s（也可表示为s-1）（转 秒）。功率P=M，又 1W=1Nm/s于是上式变为 P*103=M*2n/60 由 此 得则若转速n的单位为r/s,第二节 动力传递与扭矩 扭矩与扭矩图v扭转变形的内力 ： 扭矩。v扭矩 ：即nn 截面处的内力偶 矩。第二节 动力传递与扭矩扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。指向截 面外侧 为正指向截 面内侧 为负第二节 动力传递与扭矩 o扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。o例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=

3、10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。解（1）扭力偶矩计算（2）扭矩计算 设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则（3）画扭矩图根据上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为T x76.4Nm114.6Nm例题 一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。 解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩2. 计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)注意这个扭矩是假定为负的3. 作扭矩图由扭矩图可

4、见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。 第二节 动力传递与扭矩思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？15.94.786.37 4.78第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律 薄壁圆管的扭转应力 从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。 第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律o由此可见，在圆管横截面的各点处，仅存 在垂直于半径方向的切应力，如图示，它 们沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄， 沿壁厚也可近似认

5、为均匀分布 。第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律薄壁圆管的扭转应力o设圆管的平均半径为Ro，壁厚为，微剪力对轴 线O的力矩为RoRod 。横截面的扭矩T即为： 薄壁圆管扭转的切应力为： 当 时，该公式足够精确。第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律纯剪切与切应力互等定理：切应力互等定理：在微体的两个相互垂直 的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。 在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为 dydx。顶面与底面的两个力所构成 的力偶之矩为dxdy。 微体平衡，则 = 。 纯剪切：如上述微体的四个侧面上，仅 存在切应力而无正应力的应力状态。 第三节 切应力

6、互等定理与剪切虎克定律剪切虎克定律 ： G 在切应力作用下，微体发生切应变。 薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材 料的剪切比例极限p时，切应力与切应变成正比， 即 。引入比例系数 G， 则G 。G切变模量（剪切弹性模量） ，单位为Gpa，其值随材料而异 ，由实验测定。 第四节 圆轴扭转横截面上的应力最大扭转切应力 由式 可知，在R 即圆截面边缘各点处，切应力最大，其值为 式中Wp为抗扭截面 系数，Wp=Ip/R单位 为m3或mm3。可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗 扭截面系数成反比。 平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，其形状 、大小与间距均不变，而且，半径仍为直线。第五节 圆轴

7、扭转破坏与强度条件 扭转失效与扭转极限应力 v扭转试验表明：塑性材料试样受扭时，先发生屈服，在试样表面 的横向与纵向出现滑移线，如果再继续增大扭力 偶矩，试样最后沿横截面被剪断； 脆性材料试样受扭时，变形始终很小，最后在与 轴线成450倾角的螺旋面发生断裂。 上述实验结果说明，圆轴受扭时，其破坏的标志 仍然是塑性屈服与脆性断裂。 扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的最大 切应力，称为扭转屈服应力。 扭转极限应力：扭转屈服应力与扭转强度极限统 称为扭转极限应力，并用u表示。 塑性材料脆性材料第五节 圆轴扭转破坏与强度条件 ()Mx Ip圆轴扭转时横截面上的最大切应力当 max 时， max m

8、ax=MxWpWp= maxIpWp 扭转截面系数第五节 圆轴扭转破坏与强度条件o强度条件：对于等截面圆轴 ：第五节 圆轴扭转破坏与强度条件Ipd 4 32Wp=d 3 16IpD 4 32( 1- 4 )Wp=D 3 16( 1- 4 )=d / D对于实心圆截面对于圆环截面o例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为 P2=147kW，P3=221kW， =70MPa， =10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直 径d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 定d的大小。 解 (1)求外力偶矩 (2)求扭矩 d1d

9、2123M2M1M3ABC(3)按强度条件求直径 ：又所以同理若两段采用同一直径，则取d1d2123M2M1M3ABCo例题 已知解放牌汽车主传动轴传递的最 大扭矩T=1930Nm，传动轴用外径 D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。 材料为20钢，其许用切应力=70MPa。 校核此轴的强度。若在同样强度条件下，将 空心轴改成实心轴，试确定其直径，并比较 二者的重量。 o解：（1）计算抗扭截面系数 o（2）强度校核 满足强度条件o（3）确定实心轴直径，并比较其重量空心轴比实心轴省材料例2 下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承受扭 力偶作用，试校核轴的强度。已知MA=150N.m，

10、MB=50N.m， MC=100N.m，许用切应力90MPa。 解：（1）问题分析 绘制扭矩图，由图知AB与BC 段的扭矩分别为T1=150N.m T2=100N.m（2）强度校核max,1与max,2均小于许用切应力，说明轴满足强度条件。例3 某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kN.m，若许用切应力 50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较 其重量。（1）实心圆截面轴；（2）空心圆截面轴，其内、外径的比值di/d0=0.9。解： （1）确定实心轴的直径而故根据强度条件取 d=54mm（ 注意取法）取 do=76mm，di=68mm（注意）（3）重量比较由于空心及实心圆轴的长度及

11、材料均相同，所以，二者的 重量比等于其横截面面积之比，即上述数据充分说明，空心轴比实心轴轻。即空心轴省材料。(2)确定空心轴的内、外径则其内径为: di=0.9do=0.90.0763=0.0687m例题例 题 4已知已知：P7.5kW,n=100r/min,许用切应力 40MPa,空心圆轴的内外径之比 = 0.5。 求求: 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。例题解：PMx=T=9549n7.5= 9549 100=716.2 N.mmax=Wp116 MxMx= d13=40 MPa=0.045 m=45 mmd1=16 716. 2 40 1063例题例 题 4max=40 MPaWp2

12、Mx16 Mx = D23(1- 4)d 2 =0.5D2=23 mmA1 A2=d12 D22(1- 2)=1.28=0.045 m=45 mmD2 =16 716.2 (1- 0.5 4) 40 1063第六节 圆轴扭转变形与刚度条件 圆轴扭转变形 ：轴的扭转变形，用横截面间绕轴线 的相对角位移即扭转角表示。 相距l的两横截面间的扭转角为 上式表明，扭转角与扭矩T、轴长l成正比，与GIP 成反比。 扭转刚度：乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度， 或简称为扭转刚度。 第六节 圆轴扭转变形与刚度条件o圆轴扭转刚度条件 ：单位长度的许用扭转角 。对于一般传动轴， 为0.50m10m；对于精密 仪器

13、及仪表的轴， 根据规范确定。 第六节 圆轴扭转变形与刚度条件例题 传动轴ABC，MA=300kNm， MB=200kNm，MC=500kNm，lAB=a， lBC=2a，已知两段轴的最大剪应力相等，求： （1）直径比d1/d2； （2）扭转角比AB/BC。 o例5 一传动轴如图所示,其转速n=300r/min，主动轮输 入功率P1=367kW；三个从动轮的输出功率分别为 P2=110kW，P3=110kW，P4=147kW。已知 =40MPa , =0.30/m，G=80GPa。试设计轴的 直径d。 123N1N2N3dABCN4D43412P4P1P2P3ABCD解 (1)求外力偶矩 (2)

14、求扭矩 最大扭矩为 (3)求直径 按强度条件： 又所以按刚度条件：又解得 ： 比较强度条件和刚度条件，取例6 图示圆截面轴AC，承受扭力偶矩MA、MB及MC作用。试计 算该轴的总扭转角AC（即截面C对截面A的相对转角），并校核 轴的刚度。已知MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m， Ip=3.0105mm4，l=2m，G=80GPa，=0.50/m。解： (1)扭转变形分析利用截面法，得AB与BC段的扭矩分别为T1=180N.m T2=-140N.m， 则（2）刚度校核由此得轴AC的总扭转角为轴AC为等截面轴，而A B段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转 刚度。AB段的扭转角变

15、化率即单位长度内的扭转角为可见，该轴的扭转刚度符合要求。例7 图示圆截面轴AB，两端固定。在横截面C处承受矩为M 的扭力偶作用，试求轴两端的支反力偶矩。设扭转刚度GIp为 常数。解： (1)问题分析（2）建立补充方程设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为Mx=0， MA+MB-M=0横截面A与B间的相对扭转角AB为零，则轴的变形协调条件为:AC与C B段的扭矩分别为T1=-MA T2=MB则，两段相应的扭转角分别为将上述关系式带入变形协调方程得到补充方程-MAa+MBb=0（3）计算支反力偶矩将平衡方程MA+MB-M=0与补充方程-MAa+MBb=0联立起来，解得： 支反力偶矩确定后，即可按以前所述的方法分析轴的 内力、应力与变形，并进行强度与刚度计算。