第七章模糊与概率

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1、第七章 模糊与概率陶晓燕本章的主要问题： 模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示 模糊集合的大小的表征 模糊集合的模糊程度的度量 模糊集合间的包含关系 模糊集合间的包含关系与模糊集 合的模糊程度之间的关系一、模糊和概率的基本知识1.是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确 定性的概念？Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率和客观测量值Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其他方法都是不充分的(直接指向模糊理论)随机和模糊在概念和理论上都是有区别的相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集 合和命题的结合律、交换律、分配

2、律区别：对待 。经典集合论，代表概率上不可能的事件。而模糊建立在考虑两个问题： （1） 总是真的吗？（模糊存在吗）考虑是否逻辑上或实际中有违背“无矛盾定理”的现象（ Aristotle的三个思考定理之一，另外两个是排中定理 ，同一性定理 ， 这些都是非黑即白的经典定理。）模糊（矛盾）的产生，就是西方逻辑的结束（2）是否可以推导条件概率算子 ？经典集合论中 （公理） 模糊理论：利用超集 是其子集 的子集程度来衡量模糊集合A的模糊性，这是模糊集合的特有问题 。2. 随机与模糊：是否与多少模糊是事件发生的程度。随机是事件是否发生的不确定性。 例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的不确定性）冰箱里

3、有一个苹果的概率为50%（Probability）冰箱里有半个苹果（Fuzzy）停车位问题模糊是一种确定的不定性（deterministic uncertainty），是物理现象的特性。用模糊代表不确定性的结果将是震撼的，人们需 要重新审视现实模型。不精确的椭圆概率上的椭圆还是模糊的椭圆？没有随机性的问题，所以 属于模糊问题。可否 ？概率并不能包 括所有的问题。概率论是一种有限测量理论。二、模糊集合的几何图示：sets as points将论域X的所有模糊子集的集合模糊幂集合 看成一 个超立方体 ，将一个模糊集合看成是立方体内 的一个点。非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等 距，最大模糊。

4、 也是唯一满足以下特性的点： （多值连续集合理论）模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3，3/4） 。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立方体 包含了两个元素x1， x2所有可能的模糊子集。四个顶点代表x1， x2的幂集 2X。对角线连接了非模糊集合的补集。越靠近模糊立方体的中点， A就越模糊。当A到达中点时，所有四个点 汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点， A就越确定。当A到达顶点时 ，全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2X。模糊立方体将Aristotelian 集合“流放”到顶点处。Proposition: A

5、 is properly fuzzy iff iff完善模糊正方形三、模糊集合的大小基数A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。（X, In, M）定义了模糊理论 的基本测量空间。M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数)。两个模糊集合A和B的 距离：距离就是如上图所示的欧几里德距离。最简单的距离就是模糊汉明距离 ，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉 明距离，基数 M可以重写成 距离的形式：四、模糊集合的模糊程度模糊熵A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊 ，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。简

6、单地从几何图形 上来考虑可以得到熵的比例形式：模糊熵定理：模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶 点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。（ ）五、模糊集合间的包含关系包含度定理主导隶属度函数关系(dominated membership function relationship)：如果A=(.3 0 .7)和B=(.4 .7 .9)，那么A就是B的一个模糊子集，但B不是A的 模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的。 1.模糊子集的几何表示B的所有模糊子集构成集合 模糊幂集F(2B)，它构成了在单位 超立方体中倚着原点的规则

7、的超 长方形，其边宽等于各隶属度值 mB(xi) 。可以度量F(2B)的大小或 体积V(B)，为隶属度值的乘积：2.包含度定理：在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的 点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。 考虑到集合A属于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度 ：S(.,.)在0,1之间取值，其代表了多值的包含度的测量，是模糊理论中的基本 的、标准的结构。如何度量S(.,.)？两种方法：(1).代数方法: 即失配法(fit-violation strategy)，假定X包含有100个元素： X=x1,x100。而只

8、有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得 mA(x1)mB(x1)。直观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算， 子集性为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的 子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相对于模糊集A 的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超 集。直观上有：失配数的计算： max(0,mA(x)-mB(x) 归一化之后得到超集的最小度量：包含度为：这种包含度度量满足主导隶属度函数关系，当 时，S(A,B)=1。 如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反 之，

9、当且仅当B是空集时， S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是 模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的程度为：0 M(A2)。可见，包含度依赖于基数M(A)。考虑归一化，进一步猜测：可以定义超集：d(A,F(2B)=d(A,B*)为了保证其值在(0,1)之间变化, 要进行归一化处理，该常数等 于最大 的单位立方体距离，l1情 况下值为n:S(A,B)=1-d(A,B*)/n这种度量存在的问题（图7.9）假定p=1，令 正交性表明： 设 其充要条件是没有失 配现象发生，恒有 。所以 设 其充要条件是有失配 现象 发生，这时 ，综上： 这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个

10、更重要的性质： 因为如果有一个失配关系，那么 ， 所以 ， 其余的 ，所以 故 。 B*是具有双重优化特性的点，它既是离A最近的B 的子集，也是离B最近 的A的子集A*:包含度定理：推导相对频率：结论: fuzzy theory extends probability theory六、如何用模糊集合间的关系表征某个模糊集合的 模糊程度包含度是模糊中最基本的有代表性的一个数值 熵-包含度定理：将包含度定理中的A、B分别用 和 代替， 并注意到交集 是并集 的子集，即可证得。 该定理表明了整体是其部分的一部分的程度。 另外，利用式7-36也可得到该公式。图示二维的熵-包含度定理。交集 是并集 的子集。可见长对角 线的长度相等，所以并集 到交集 的模糊幂集所构成的超长方形 的最优距离d*满足：Thank You