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1、第10章 传递函数矩阵的状态空间实现第10章 传递函数矩阵的状态空间实现10.1 实现的基本概念和基本属性状态空间实现简称为实现（Realization） 对于线性时不变系统，实现是传递函数矩阵（外部描述）的外 部等价的状态空间描述（内部描述）实现的定义对于真或严格真连续线性时不变系统，称一个状态空间描述或简写为(A, B, C, D)是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如 果两者为外部等价，即成立关系式：C(sI - A)-1B+D = G(s) 实现的基本属性(1) 实现的维数 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由其维数 表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维
2、数，即实现的维数 = dim A(2) 实现的不惟一性 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性，即不仅实 现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一(3)最小实现 传递函数矩阵G(s)的所有实现(A,B,C,D)中维数最小的一类实现(4) 实现间的关系 对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系 ，但其最小实现间必具有代数等价关系(5) 实现的物理本质 直观上，传递函数矩阵G(s)的实现就是对具有“黑箱”形式的 真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结构 ，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统是 否可控可观测。(6) 实现的形式 G(s)实现
3、的形式取决于其真性和严格真性。 n当G(s)为严格真，其实现对应地具有形式(A,B,C)，即D = 0 n当G(s)为真，其实现对应地具有形式(A, B, C ,D)，即D 0， 且有(7) 扩展构造其它实现的途径 设状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个实现，dim A = n，则对任一nn非奇异阵T，状态空间描述(T -1AT, T -1B, CT, D)必也为G(s)的一个同维实现能控类和能观测类实现能控类实现称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可控类实 现，当且仅当C(sI - A)-1B+D = G(s)(A, B)可控且具有指定形式 能观
4、测类实现称状态空间描述(A,B,C,D)为传递函数矩阵G(s)的一个可观测类实 现，当且仅当C(sI - A)-1B+D = G(s)(A, C)可观测且具有指定形式 当G(s)以有理分式矩阵或矩阵分式描述形式表达时，可以构成 形式很不相同的能控类、能观测类实现最小实现n所有实现中结构最为简单的实现 n即从外部等价的角度看，实现中不包含任何多余的部分 n最小实现为不可简约实现最小实现的判据设(A, B,C)为严格真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实 现的充要条件是(A,B)完全可控，(A,C)完全可观测 严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现不惟一，但满足广义惟一 性。也就是说，若(A
5、,B,C) 和 为G(s)的任意两个最小实 现，则必可由此构造出一个nn非奇异常阵T使下式成立最小实现的广义惟一性实现的最小维数 对qp传递函数矩阵G(s)，r = Rank G(s)， Smith-McMillan型为G(s)的状态空间实现的最小维数为10.2 标量传递函数的典型实现考虑SISO线性时不变系统的传递函数为真标量传递函数g(s)其中能控标准型实现g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的可控标准型实现具有形式系统特征多项式可观测标准型实现g(s)的严真部分n(s)/d(s)的可观测标准型实现具有形式例：，试求其能观测标准型 。 并联型实现g(s)的严格真部分n(s)/d(s)的极
6、点为1(1重)、2(2重)、m(m重)， i (i=1m)之和为维数 n则n(s)/d(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp)， g(s)的并联型实现为(Ap, bp, cp, e)10.3 基于有理分式矩阵描述的典型 实现：能控性实现和能观测形实现真qp传递函数矩阵G(s)如下G(s) = ( gij(s) ) , i = 1,2, q ; j = 1,2, p E = G()。再设Gsp(s)诸元的最小公分母d(s)为严格真传递函数Gsp(s)可进一步表示为其中，Pk( k = 1,2, l-1 )为qp常阵可控型实现Gsp(s)的可控型实现具有形式例：求出下面G(s)的可控型实现解：
7、G(s)为严格真传递函数矩阵，其中各元的最小公分母为d(s) = (s+1)(s+2)(s+3) = s3+6s2+11s+6 则G(s)可表示成G(s)的可控型实现为注：Gsp(s)的可控型实现与可观测型实现满足对偶关系可观测型实现所示Gsp(s)的可观测型实现具有形式10.4 基于MFD的典型实现：控制 器形实现和观测器形实现对于传递函数矩阵G(s)，按MFD为“右或左MFD”以及“分母矩 阵列既约或行既约”可分为4种可能的组合：n右MFD Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约 构造控制器型实现*n左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约 构造观测器型实现*n右MFD N
8、r(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约 构造可控性型实现n左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)列既约 构造可观测性型实现真qp右MFD1. 右MFD的控制器型实现严格真右MFDG(s) = Nr(s)Dr-1(s) , 设Dr(s)列既约控制器型实现 对qp严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)， Dr(s)列既约，表示列次 ciDr(s) = kci， i =1, 2, , p，则称一个状态空间描述为其控制器型实现其中满足对真qp右MFD ，其严格真右MFD为 Nr(s)Dr-1(s)， Dr(s)列既约，列次ciDr(s) = kci， i =1, 2, , pDr(s) =
9、 DhcSc(s) + DLcc(s) Nr(s) = NLcc(s) 控制器型实现的构造其中，Dhc为Dr(s)的列次系数阵，且的det Dhc 0，DLc为Dr(s)的 低次系数阵， NLc为Nr(s)的低次系数阵则严格真Nr(s)Dr-1(s)的控制器型实现(Ac, Bc, Cc)的系数矩阵为而真 的控制器型实现为(Ac, Bc, Cc , E)。注 控制器型实现为完全可控，但一般为不完全可观测。通过分析可知，控制器型实现中Ac, Bc, Cc 具有如下形式：其中，*表示可能的非零元素，与Dr(s)的列次系数阵之间的直接关系为例：给出如下22右MFD Nr(s)Dr-1(s)的控制器型实
10、现(Ac, Bc, Cc)解 容易判断， Dr(s)为列既约，且Nr(s)Dr-1(s)为严格真。Dr(s)的列次数 kc1 = c1Dr(s) = 2 ， kc2 = c2Dr(s) = 3 列次表达式的各个系数矩阵为由此可得2. 左MFD的观测器型实现考虑真qp左MFD严格真左MFD控制器型实现对qp严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约，表示行次 rjDl(s) = krj， j =1, 2, , q，称一个状态空间描述为其观测器型实现，其中如果满足观测器型实现的构造对真qp左MFD ，其严格真左MFD为 Dl-1(s)Nl(s)， Dl(s)行既约，行次rjDl(s
11、) = krj， j =1, 2, , q ，利用行次表达式 ：Dl(s) = Sr(s)Dhr + r(s)DLr NL(s) = r(s)NLr 其中，Dhr为Dl(s)的行次系数阵，且的det Dhr 0，DLr为Dl(s) 的低次系数阵， NLr为Nl(s)的低次系数阵其核心MFD Sr-1(s)r(s)的实现为 ，这里则严格真Nr(s)Dr-1(s)的控制器型实现(Ac, Bc, Cc)的系数矩阵为而真 的控制器型实现为(Ao, Bo, Co , E)。注 观测器型实现为完全可观测，但一般为不完全可控。通过分析可知，观测器型实现中Ao, Bo, Co 具有如下形式：其中，*表示可能的
12、非零元素，与Dl(s)的行次系数阵之间的直接关系为10.6 不可简约矩阵分式描述的最小实现最小实现是传递函数矩阵的维数最小即结构最简单的一类实现1.不可简约右MFD的最小实现对qp严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)，设 n = deg detDr(s)，表(Ac, Bc, Cc)为“Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)列既约”的n维控制器型实现，(Aco, Bco, Cco)为“Nr(s)Dr-1(s)，Dr(s)行既约”的 n 维可控性型实现，则 有(Ac, Bc, Cc)为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约(Aco, Bco, Cco)为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可
13、简约 对qp严格真右MFD Nr(s)Dr-1(s)， Dr(s)列既约或行既约，n = deg detDr(s)，表(A, B, C)为其任意形式的 n 维实现，则有(A, B, C)为最小实现 Nr(s)Dr-1(s)不可简约 注：上述描述为由右MFD确定最小实现提供了一条易于获得 的途径，但这并不意味着右MFD的最小实现只可能有控制器 型或可控性型。下面的结论对于给出MFD的最小实现更具普 遍性2 .不可简约左MFD的最小实现对qp严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s)，设 n = deg detDl(s)，表(Ao, Bo, Co)为“Dl-1(s)Nl(s)，Dl(s)行既约”的n
14、维观测器型实现， (Aob, Bob, Cob)为“Dl-1(s)Nl(s) ，Dl(s)列既约”的 n 维可观测性 型实现，则有(Ao, Bo, Co) 为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可简约 (Aob, Bob, Cob)为最小实现 Dl-1(s)Nl(s)不可简约 注：同样，上述结论并不意味着左MFD的最小实现只可能有 观测器型或可观测性型。下面给出左MFD的最小实现的一个 更具普遍性的结论对qp严格真左MFD Dl-1(s)Nl(s) ，Dl(s)行既约或列既约，n = deg detDl(s)，表(A, B, C)为其任意形式的 n 维实现，则有(A, B, C)为最小实现 D
15、l-1(s)Nl(s)不可简约3 .确定最小实现的途径 对严格真可简约MFD，确定最小实现的途径包括频域法和时 域法两种频域法的途径严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约 导出不可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约 导出“控制器型/可控性型实现”或“观测器型/可观测性型实现 所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数时域法的途径：严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约 对于可控类实现 按可观测性分解导出可控可观测部分(Aco, Bco, Cco)最小实现即为(Aco, Bco, Cco)；对于可观测类实现 按可控性分解导出可观测可控部分(Aoc, Boc, Coc)最小实现即为(Aoc, Boc, Coc)
