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1、 競賽理論 又稱遊戲理論或對局理論 競賽中有至少兩位的競賽者，每位 競賽者的目標互相衝突，彼此對抗 ，因此競賽者均有種種的策略，以 期能打敗其他競賽者而獲得最大報 酬或最小損失。 競賽理論 競賽架構中有三種基本元素： 1)競賽者 (player)：至少兩人 (方)，但三 人以上的競賽不在本書範圍 2)策略 (strategy)：每位競賽者至少有2個策 略。但每回合雙方僅可選定一個策略，競賽 者可採用單純策略或混合策略。 3)報酬 (payoff)：當雙方採用各自選定的最 佳策略時，所獲得之報酬期望值稱為競賽值 。競賽值為0的競賽，稱為公平的競賽。 4)報酬矩陣：5)競賽的基本假設： 1)雙方均
2、知道報酬矩陣 2)雙方均採理性的行動，追求最大報酬 或最小損失 3)雙方均採取保守戰略 R方策略C方策略若R方選S1策略， C方選T2策略，則結果為何？若R方選S4策略， C方選T1策略，則結果為何？R方贏8，C方輸8R方輸2，C方贏2 在 mn 報酬矩陣的競賽 若R方採用第 i 個策略的機率為 xi，則稱 機率向量 R =x1, x2, , xm 為R方的策略； C方採用第j個策略的機率為 yj，則稱 C=y1, y2, , yn 為C方的策略。 若報酬矩陣A的R方最佳決策為R*，C方最 佳決策為C*，則競賽值 E (R*, C*) = R* A (C*)T 每個競賽的競賽值是唯一的 假設甲
3、、乙兩人玩剪刀、石頭 、布猜拳遊戲，勝方自敗方獲得1 元，平手則報酬為0，請寫出報酬 矩陣。 1.蕭薔與林志玲兩人在錄影時因無聊，協議各擲一個 銅幣為賭。 若投擲的結果皆出現正面，則林志玲必須付給蕭薔5 元； 若皆出現反面，則林志玲必須付給蕭薔10元 若蕭薔投出正面，林志玲投出反面，則蕭薔必須付 給林志玲14元； 若蕭薔投出反面，而林志玲投出正面，則蕭薔必須 付給林志玲2元， 請寫出此賭局的報酬矩陣。2.仔仔與暴龍二人玩一種遊戲，也就是二人同 時出示身分證或駕照， 若兩人同時出示身分證，則為和局， 若同時出示駕照，則暴龍須付給仔仔3元。 若仔仔出示身分證而暴龍出示駕照，則暴龍 付給仔仔1元。
4、若仔仔出示駕照而暴龍出示身分證，則仔仔 要付給暴龍1元。 請寫出這個無聊競賽的報酬矩陣。解題步驟 兩人零和競賽解題可依循以下步驟： 步驟1：以小中取大，大中取小準則尋找鞍點；有鞍點，停止運算；無鞍點到步驟2 步驟2：以凌越規則簡化矩陣(刪除不會採用的策略) 步驟3：(1)22矩陣，以圖解法求解 (2)2n，m2 矩陣以圖解法求解 (3)mn；m,n 3之矩陣，以線性規劃法求解 單純策略競賽 R方準則：小中取大，自每一列中先選出最 小值，再自這些數值中找出最大值 C方準則：大中取小，先自每一行中選出最 大值，再自這些數值中找出最小值 R方、C方所選取的元素為同一個時，此元 素稱為鞍點。有鞍點的矩
5、陣其競賽稱為單 純策略競賽，雙方的最佳決策，競賽值均 可自鞍點求出 無鞍點的矩陣則稱為混合策略競賽 設兩人零和競賽報酬矩陣如下試求雙方的最佳策略及競賽值R方策略C方策略設兩人零和競賽報酬陣為 請求雙方的最佳決策及競賽值？ 解： 有鞍點的競賽，競賽值6 R方最佳決策R*= 0,0,1,0，即第策略 C方最佳決策C*= 0,0,1,0，亦為第策略西元公司 大統公司增加電視 廣告費增加冷氣 廣告費增加洗衣 機廣告費不採取 行動增加電視廣告費60-30150-110增加冷氣廣告費70109050增加洗衣機廣告費-300-5080設大統與西元兩公司生產同類產品電視、冷氣及洗 衣機三種，大統公司計畫擴充市
6、場，並準備增加廣 告費用100萬元，但不知應增加於何項產品最為有利 。而且西元公司也可能同時增加廣告費以對抗之。 設大統公司估計兩公司各種行動的結果如下表所示 （單位：萬元），試問這二家公司各應採取何種政 策？練習3凌越規則 優勢策略 與 劣勢策略 凌越規則如下： 1.每個第 i1 列元素 同行第 i2 列元素，則可刪去第 i2 列 2.每個第 j1 行元素 同列第 j2 行元素，則可刪去第 j2 行 刪去較小的列刪去較大的行解以凌越規則簡化矩陣練習422混合策略競賽 無鞍點的混合策略的競賽，雙方常因應對 方行動調整自己的行動，因此只能以機率 來描述雙方的策略。 一般而言，無鞍點的競賽必須利用線性規 劃模式或圖解法加以求解 22 矩陣的競賽可用圖解法 m2，或 2n 矩陣的競賽可用圖解法 33 以上矩陣的競賽必須用線性規劃模式 求解 解：S1S22-31-2T1T2T1T22-21-3S1S2並無鞍點存在，故為混合策略競賽，使用圖解法53 44練習5解：練習6解：C方剩下兩個策略T1T32-30-2 S1S23-1S3515133競賽值R方最佳決策 C方最佳決策 練習7
