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1、 高斯消元法 向量空间* 线性方程组解的结构第四章 线性方程组设线性方程组 若记则上述方程组可写成向量方程Ax = b.当b=0时, 称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性 方程组.若记系数矩阵未知量矩阵常 数 项 矩 阵增广矩 阵线线性方程组组与其增广矩阵阵相互唯一确定3.13.1 矩阵的初等变换用Gauss消元法求解下面方程组 方程组与增广矩阵是一一对应一一对应关系, 我们用增广矩阵来写求解过程引例首先搞清一个概念:什么是同解方程组同解方程组?同解方程组也称等价方程组等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里就不区分了)这个矩阵所对应的方程组与原这个矩阵所对应的方程组与原方程组同解吗方
2、程组同解吗? ?逆变换是什么逆变换是什么? ?以后每一步都思考同样的问题以后每一步都思考同样的问题. .得到同解方程组(就是解)GaussGauss消元法的思想消元法的思想? ?2.高斯消元法例1 解线性方程组 解得观察知:高斯消元法求解线性方程组与对线性方程组 增广矩阵进行初等行变换一一对应 ！解线性方程组 可以利用其增广阵进行初等行变换实现.行最 简形 矩阵行阶梯形矩阵定义：线性方程组的同解变换（1）交换线性方程组的任意两个线性方程式（2）线性方程组的任意一个线性方程式乘以 非零常数k（3）线性方程组任意一个线性方程式的常数k 倍加到另外一个线性方程式上去初等行变换3. 线性方程组解的判定
3、 定理1 线性方程组Ax=有解系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即r(A)= r(A | ).若r(A)=r(A ) = r=n时，则方程组有唯一解；若r(A)=r(A ) = rn时，则方程组有无穷多解. 综上所述，得到用消元法解方程组的步骤：(1)写出方程组的增广矩阵 ，(2)对 施行初等行变换化为行阶梯形B；(3)判断是否有解？(4)若有解, 继续对行阶梯形矩阵B施行初 等行变换化成行最简形C，(5)由行最简形C直接写出原方程组的解.设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的结构则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程 的解，则解向量的概念称为方程组(1) 的
4、解向量，它也就是 向量方程(2)的解一、 齐次线性方程组解的结构1 解的性质性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解. 性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解. 性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解. （1 ）齐次线性方程组(1)一组解向量 ，若满足 ii）(1) 的任一解向量可由 线性表出.i） 线性无关； 则称 为(1)的一个基础解系 2 基础解系 定义附： 求基础解系的一般方法 对方程组(1)的系数矩阵A作初等行变换，化A为行最简形 不妨设初等行变换第一步：写出方程组(1)的一般解：第二步：第三步：为自由未知量.现对 取下列 组数：第三步：将其余 个分量依次组成 阶 单位矩
5、阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系例3证3 基础解系的存在性 定理 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于 ，其中n是未知量的个数，例1 求解齐次线性方程组解二、齐次线性方程组的解法故方程组有非零解，且有由此即得例1 求齐次线性方程组的基础解系 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵令 得令 得原方程组的解为 原方程的基础解系为例2 解线性方程组解对系数矩阵施 行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例. 求解方程组与原方程组同解方程组为:则为原方程组的解,且为基础解系
6、.例3 求解方程组 解 对 作初等行变换 即得同解方程组 于是有 为任意的. 故方程组的通解为为任意的. 为任意实数.例解40i.e.二、判别方法 1.向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无) (没)(没)4142二、非齐次线性方程组解的结构设线性方程组 则齐次线性方程组 （3） （4） 称为（3）的导出组 证明非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质定理4.5:证明证毕注意:即非齐次线性方程组的解集合不是向量空间二、非齐次线性方程组的通解定理4.6 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的通解与 Ax = b 的一个特解之和. 即设 1, 2, , nr为
7、 Ax = 0 之基础解系. 为 Ax = b 之特解. 则 Ax = b 的通解可表为k1 1+ knr nr+ .证明: 设x是非齐次线性方程组 Ax = b 的任何一个解,则由定理4.5, x -为导出组 Ax = 0 的解.注: 与方程组 有解等价的命题线性方程组 有解2 非齐次线性方程组解的结构 定理 如果 是非齐次线性方程组（3）的一个从而，方程组（3）的一般解为 为导出组（4）的一个基础解系那么方程组（3）的任一个解都可以表成解，是其导导出组组的全部解推论 非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解.例 解下列线性方程组解 对增广矩阵B施行初
8、等行变换 由上式的最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系 数矩阵的秩等于，而增广矩阵的秩等于，因此 该方程组无解。 1. 设, , 求的通解 解 同解方程组为 基础解系：特解：练 习通解 解例2 求下述方程组的解则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为例2解 对增广矩阵施行初等行变换，得因所以线性方程组有无穷多解.例 求解下列非齐次线性方程组解方程组的增广矩阵为即其中为任意常数.例4 下列线性方程组是否有解？若有解,求出全部解 .解 对增广阵施行初等行变换，得Ax=的特解导出组Ax=0 的解思考题:四、思考与练习解:思考题思考题解答解故原方程组的通解为例3k取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解.解：利用Cramer法则当 时，即 且 时，方程组有唯一解。有无穷多解，即当 时，所以方程组无解。例5解 对增广矩阵施行初等行变换，得当a=5,b=8时,方程组有无穷多解，此时继续化简至行 最简形：例6解例3* 设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：例4解:
