概率论与数理统计辅导

《概率论与数理统计辅导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计辅导（110页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、概率论与数理统计辅导 王晓谦引言数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有 效工具。在自然科学、技术科学、经济科学、社会科 学的应用不断深入。与计算机的结合，使以前只有理 论而无法计算的内容找到了广阔的应用领域。概率和统计具有不同于其他数学分支的思维方 式。我们在教学实践中既要体会概率和统计思想与其概率和统计思想与其 他数学思想的不同他数学思想的不同，但也必须注意到它们与其他数学与其他数学 分支之间的密切关系分支之间的密切关系。要培养利用概率、统计的思想培养利用概率、统计的思想 思考、处理问题的能力思考、处理问题的能力。第一部分 概率第一节 随机事件及其概率A. 随机现象与随机事件概率论就是研

2、究随机现象的数学分支。研究随机现象的第一步：定义事件定义事件在给定条件下，可能发生这样的结果，也可 能发生那样的结果，这就是随机现象。特点：一个随机现象，我们知道所有可能 的结果有哪些，但是在条件没有实现之前，无法 判断会出现哪个结果。随机事件：随机事件：我们把在给定条件实现之后，可以判 断是否发生的结果叫做随机事件，用大些英文字 母表示。例如，研究某个射击运动员的射击水平。 在正常条件下，他射出一发子弹，落点会是 随机的，都有哪些随机事件呢？无穷多个随机事 件：A:十环 B:九环，E:没有脱靶，F:脱靶 ，等等等等，这些都是可能发生的结果， 都是随机事件。只要实现一次条件，即在正常条件下，他

3、射 出一发子弹，哪个事件发生，哪个没有发生，一 目了然。两个特例：不可能事件：不可能事件：用字母表示。 例如上面例子里，“既没有脱靶，也 没有上靶”这个事件就是不可能事件。必然事件：必然事件：用字母表示。例如上面例子里，“脱靶或没有脱靶 ”就是一个必然事件。事件事件必然事件必然事件随机事件随机事件不可能事件不可能事件B. 事件的概率事件的概率就是刻划该事件在一次试验中发生的可 能性大小的数量指标。设A是一个事件，用P(A)表示 这个事件的概率。 概率的第一个基本性质：对于任意事件A，这是一种要求！例：例：七个有变异的豌豆特征七个有变异的豌豆特征（P89P89）子的形状，子的颜色，豆荚的形状，豆

4、荚外衣的颜子的形状，子的颜色，豆荚的形状，豆荚外衣的颜 色，未成熟豆荚的颜色，花的位置，豆梗的长度色，未成熟豆荚的颜色，花的位置，豆梗的长度孟德尔把绿色豌豆与黄色豌豆杂交，结果下一代都孟德尔把绿色豌豆与黄色豌豆杂交，结果下一代都 是黄色豌豆。是黄色豌豆。对其他六个特征做试验，也有类似的结果。对其他六个特征做试验，也有类似的结果。我们把这一代叫做杂交第一子代，简称为子一代。我们把这一代叫做杂交第一子代，简称为子一代。 问题是，用它们作为种子，下一代会怎样呢？这是中问题是，用它们作为种子，下一代会怎样呢？这是中 学教师学教师孟德尔的问题，这个问题的解决让他名崔青史孟德尔的问题，这个问题的解决让他名

5、崔青史 。（。（1822182218841884）孟德尔把杂交黄色豌豆作为第一子代F1，培育出第 二子代F2。在第二子代中豌豆会是什么颜色的呢？他提 出了一种遗传学理论，用这个理论来预测第二子代的颜 色。他的预言是：75%75%的黄色豌豆的黄色豌豆25% 25%绿色豌豆绿色豌豆即两者比例为即两者比例为3 3：1 1。【用G代表绿色基因，Y代表黄色基因，则第一子代 F1可表示为YG。这样的豌豆自由杂交，在第二子代F2中会出现四种 情况：YY,YG,GY,GG。每种情况出现的机会均等。其中黄色：黄色：YY,YG,GYYY,YG,GY；绿色：绿色：GGGG所以黄色豌豆与绿色豌豆数量的比例应该是3：1

6、。】课本上89页表7-1-1的数据就是试验观测结果。这里 用的是频率估计概率的思想。我们不知道当初老孟是先有的数据还是先做的理 论分析。不过大多数人相信是1、先做的试验，2、然后利用观测到的现象（概率统计思想）提 出大胆的理论，3、利用提出的理论对观测结果作出解释，4、再利用理论作预测，5、然后通过试验验证理论预测的可靠性。这是科学研究的一种基本方法。为了估计事件A发生的概率，我们在相同条件下进 行重复试验，记录试验次数n和事件A发生的次数m，然 后用事件A在这n次试验中发生的频率作为事件A发生的 概率的估计值求概率之基本方法求概率之基本方法试验法。有误差。试验法。有误差。概率的第二个基本性质

7、 ：这不是公式，是一种规范化要求。第二节 古典概型试验或观测只有有限多种可能的基本结果，这些结 果具有以下特点：（1）、这些可能结果有限多个； （2）、每次试验，这些结果中必有一个会发生，而且 只有一个会发生； （3）、每个结果的发生是等可能的。满足前两条的结果叫基本事件。假设共有n个基本 事件。如果还满足第三条的话，这样的随机现象的概率 计算模型就叫做古典概型古典概型。古典概型里，每个基本事件的概率都是.如果事件A的发生等价于m个基本事件之一发生， 那么事件A发生的概率就是第三节 几何概型试验或观测有无限多种可能的基本结果，这些结果 具有以下特点：（1）、这些可能结果有无限多个； （2）、每

8、次试验，这些结果中必有一个会发生，而且 只有一个会发生； （3）、每个结果的发生是等可能的。这样的随机现象的概率计算模型就叫做几何概型几何概型。方程有实根的概率是多少？例一、方程中的系数分别在区间随机取值，那么这个解：我们把放到一起考虑 ，那么任取 中的两个值作为 矩形区域 S 中任取一个点，把横坐标作为 ，可以看作是在平面直角坐标系中，纵坐。 坐标作为方程有实根等价于这等价于要求点必须取在区域A中。所以 例二、怎样求一个不规则图形的面积？做正方形S，随机向图中投点，计算落在A中的点 的频率，A的面积的近似值就是该频率与S的面积的乘 积。 例三 贝特朗奇论在圆内任取一弦，问其长度超过内接等边三

9、角形 边长的概率是多少？贝特朗给出了三中求解方法。设该圆半径为则内接等边三角形边长为记弦的长度为（1）、由于弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无 关，因而可假定弦垂直于某直径EF。如图所示：当且仅当弦AB与圆形的距离小于时，有所以所求概率为(2)、弦长由其中点唯一确定。当且仅当弦的中点落到半径为的同心圆内时，弦长所以，如图所示，所求概率为（3）、因为任何弦都交圆于两点，并且具有对称性，所以不妨固定弦的一端A于圆周上，另一端在圆周上任意取。如图，考虑等边三角形ADE，如B落在角A所对应的弧上，则弦长所以所求概率为第四节 互斥事件与概率两个事件互斥两个事件互斥 一组事件是互斥的一组事件是互斥的设

10、是A,B是两个互斥事件，我们用 A+B表示一个新的事件，即“A,B中至少有一件发生”这个事件。是一组互斥事件，那么中至少有一个发生这个事件。表示概率的第三个基本性质要求例如，表示某射击运动员打中k环这个事件，k=1，2，10. 那么它们是10个互斥事件。如果知道每个事件的概率，我们就可以算出许多其它事件的概率。例如打到打到8 8环以内环以内这样的事件的概率。 例如， 对立事件：对立事件：如果两个事件互斥，而且每次试验或观 测两个事件中必有一个发生，那么这两个事件就叫做 一对对立事件。如果用A表示其中的一个事件，另一个 就用来表示。显然所以或等价地例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。解法

11、一、用A表示“500人中至少有一人生日在今天” ，用表示“500人中恰有k人生日在今天”，k=0，1,500。互斥，而且所以则不难发现这501个事件由于所以解法二、显然表示所以“500人中没有一人在今天过生日”，我们可以求出比较这两个结果你可以发现一个公式即事实上，第五节 独立性概念积事件积事件：设A,B是两个随机事件，称“事件A与B同时发生”这个事件为事件A与事件B的积事件积事件，记作AB。类似地， 用表示一个新事件，该事件的发生等价于这n个事件同时发生。例如：表示第k次投掷硬币出现正面，k=1,2,就表示“连续投掷硬币n次都出现正面”这个随机事件 。那么定义：称事件A,B相互独立，如果一般

12、地，称一组事件相互独立，如果其中任意有限 个同时发生的概率等于它们每一个发生的概率的乘积。所以，如果知道事件相互独立，那么事件同时发生 的概率就等于每一个发生的概率的积。例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。表示不难理解也是相互独立的一组事件，而且方法三、用第k个人在今天过生日，k=1,2,500。则我们一般认为这500个事件相互独立。显然所以，连续投掷一枚硬币n次，计算其中恰好出现 k次正面 的概率，这个问题有如下三点要注意：（1）.每次试验（或观测）只有两种可能的结果，其一记为 A,另一个就是（2）.每次试验（或观测）结果不受其它试验（或观 测）结果的影响。即各次试验或观测相互独立。

13、（3）.每次A发生的概率都相同，记为这个问题的答案就是二项概率公式二项概率公式：这种随机试验或观测我们叫做独立试验序列独立试验序列。在研 究独立试验序列时，一个基本问题就是，n次试验中事 件A恰好发生k次的概率是多少？特别地所以每个人是否在今天过生日相互独立。所以500人中恰有k 人在今天过生日的概率为方法四、每个人在今天过生日的概率都是例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。某车间有十台机床，彼此独立工作。据统计每台机 床每小时有12分钟在工作，工作时需8千瓦的电力。供 电部门供多少电给该车间合适呢？该车间恰好有k台机床在同时工作的概率为解：用A表示一台机床在工作，则我们把恰好有0，1，

14、2，10台机床在同时工作的 概率都计算出来，列在下表里：从表中数据可以看出，所以，供给千瓦电力就可以保证有0.9936的概率不会误事。完全没有必要供给80千瓦的电力。k0123456789100.10740.26840.30200.20130.08810.02640.00550.00080.000100第五节 随机变量简介随机变量是这样的一种“函数”，它把随机试验的每 一个基本结果对应成一个实数。例如，掷一枚硬币有两个基本结果，正面和反面。我 们取X是这样的一种对应法则：如果掷出正面，取X=1，如果掷出反面，取X=-1.则X就是一个随机变量，取-1和1两个值，到底取哪个 在实验没有结束之前不能

15、确定，即取值是随机的。所有可能取值的概率总和必为1。我们关心的是随机变量的取某个值或取值落在某个 范围里的概率。怎样计算，依不同情况而定。随机变量有两种类型，一种是它的所有可能的取值 可以一一列举出来。例如上面提到的。这样的随机变量 叫做离散型随机变量。对于这样的随机变量，我们要搞 清楚它可能取的每一个值，而且要求出取每一个值的概 率。例如，投掷一个硬币100次，用X表示其中出现的正 面次数，则所有可能的取值是0，1，2，100，且所有可能取值的概率总和必为1。对于随机变量，我们常常会求它的取值的平均值， 还要考虑它的取值的分散程度。X 5 6 7 8 9 10概率 0.05 0.05 0.2

16、 0.3 0.2 0.2 那么这个运动员的水平该怎样评价呢？我们计算一下他打 一枪平均来说可能的环数：这个数叫随机变量X的数学期望数学期望。例如，X表示一个射击运动员命中的环数，则它是一 个随机变量。假设我们已经知道X取每一个值的概率，如 下表所示：相对于数学期望，随机变量的取值有时偏大，有 时偏小，那么平均偏差该怎样计算呢？先把这些偏差 做平方，然后再平均。考虑到每一个偏差出现的可能 性实际上就是原先的取值对应的概率，所以也要用求 数学期望那样的方法来求偏差平方的平均值。例如， 上面的X， X5678910X-E(X)-3.15-2.15-1.15-0.150.851.85 (X-E(X)29.92254.62251.32250.02250.72253.4225 概率0.050.050.20.30.20.2由上表可见，偏差平方的平均值为这个数叫随机变量X的方差方差。随机变量的数学期望反映了