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1、二次曲面的定义：一个仿射坐标系中，x,y,z的一个三元二次方程的 图像称为二次曲面相应地平面被称为一次曲面讨论二次曲面形状的截线（截痕）法 ：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面6 二次曲面6.1压缩法在空间取定了一个空间直角坐标系后，对 点M(x,y,z)做向xy平面的，系数为k的压 缩，就是把它变为点(x,y,kz)。如果对空间的每一点做这种压缩，就称为 向xy平面的系数为k的压缩变换。6.2对称性在直角坐标系中，如果一个图形的每一点关于某坐标 平面的对称点也在此图形上，就说它关于此坐标平
2、面 对称。 如，点M(x,y,z)关于xy平面的对称点坐标为(x,y,-z) 于是如果z只以平方项的形式出现，则它一定关于xy平 面对称。点M(x,y,z)关于x轴的对称点坐标为(x,-y,-z),于是如 果y,z只以平方项或yz形式出现，则一定关于x轴对称 。zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.二. 几种常见二次曲面.（一） 椭球面1 用平面z = 0去截割, 得椭圆3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0 截割, 得椭圆:椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭
3、圆 绕 轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面 的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为单叶双曲面（1）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点 的椭圆（二）、单叶双曲面单叶双曲面 的腰椭圆与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭圆 的中心都在 轴上.（2）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与 轴相合， 虚轴与 轴相合.双曲线的中心都在 轴上.与平面 的交线为双曲线.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.截痕为一对相交于点 的直线.截线为一对相交于点 的直线.（3）用坐标面 ， 与曲面相截均可得双曲线.（三）、双叶双曲面双叶双曲面xyoz（四）抛
4、物面（ 与 同 号）椭圆抛物面用截线法讨论：（1）用坐标面 与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上 .与平面 不相交. （2）用坐标面 与曲面相截截得抛物线与平面 的交线为抛物线.它的轴平行于 轴 顶点（3）用坐标面 ，与曲面相截均可得抛物线.同理当 时 可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下 ：特殊地：当 时，方程变为旋转抛物面（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上.用z = a截曲面用y = 0截曲面用x = b截曲面xzy0截痕法（马鞍面 ）（五）. 双曲抛物面 截痕法.（五）. 双曲抛 物面（马鞍面 ）xzy0用z = a截曲面用y = 0截曲面用x = b截曲面截痕法.（五）双曲抛物面（马鞍面 ）xzy0用z = a截曲面用y = 0截曲面用x = b截曲面单叶：双叶：. . . yxzo在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时 ， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：补充：双曲面补充：双曲面的渐进的渐进锥面面
