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1、数字信号处理Enjoy Science第2章 时时域的信号与系统统从时间时间 的角度考虑虑解决问题问题 的方法，这这是人们对们对 待 和处处理事物的一种习惯习惯 。2.1 时时域的信号 从时间时间 的角度看问题问题 ，从时间时间 的角度看信号，较较多 的时时候是把时间时间 作为为自变变量。有时时，自变变量并不是 时间时间 ，但我们还们还 是沿用自变变量是时间时间 这这个概念。描 述离散信号的基本方法有四种：语语言、表格、公式和 图图形。2.1.1 语语言描述 用语语言可以形象描述脉冲信号，阶跃阶跃 信号，矩形信号 ，正弦波信号，周期信号，等等。1数字信号处理Enjoy Science（1）脉冲
2、信号 有些信号是突然出现现又很快消失的，这这种信号称为为脉 冲信号。生活中有些事情一出即逝，但它们们能促使其 它事情发发生。例如：登门门造访时访时 的敲门门，判断西瓜 是否成熟的弹弹指敲击击，这这些行为为从时间时间 上来说说，是 突然发发生又马马上消失的。作为为信号来看，它们们是脉冲 信号。 （2）阶跃阶跃 信号 有些信号是突然出现现而后一直存在的，这这种信号叫做 阶跃阶跃 信号，其状态变态变 化是跳跃跃的，像阶阶梯一样样。现现 实实中有的事物是从无到有，例如：打开电电灯，接通电电 源，玻璃杯破裂，这这些事件从时间时间 上来衡量，它们们是 从一种状态变态变 成另一种状态态。把这这些事物的运动变
3、动变 化看作是信号的话话，它们们属于阶跃阶跃 信号。2数字信号处理Enjoy Science2.1.2 表格描述 在观观察事物的变变化时时，人们经们经 常采用定点、定时时等 方法测测量和记录记录 事物变变化的各种数据，为进为进 一步研 究事物的变变化规规律做准备备。用表格记录记录 数据可以直 接描述信号。例如，（1）脉冲信号的表格（2）阶跃阶跃 信号的表格记录顺序-2-10123信号数值001000记录顺序-2-10123信号数值001111表2.1表2.23数字信号处理Enjoy Science2.1.3 公式描述 用公式描述事物的变变化，虽虽然不易看懂，但是此法非 常精练练和准确，而且方便
4、我们们数学推导导。（1）单单位脉冲序列， ；（2）单单位阶跃阶跃 序列， ；（3）矩形序列， ；(2.2)(2.3)(2.4)4数字信号处理Enjoy Science（4）正弦波序列， 如果该该正弦序列x(n)是以时间间时间间 隔Ts对对模拟拟正弦波函 数xa(t)=Asin(t)进进行测测量得到的，则则两者的角频频率 关系为为这对这对 我们们理解数字域和模拟拟域的频频率至关重要。（5）周期序列， (2.5)(2.7)(2.9)5数字信号处理Enjoy Science2.1.4 波形描述 用波形可以直观观和形象地描述信号。(图2.22.9)6数字信号处理Enjoy Science2.2 信号之
5、间间的关系 将两个事物进进行比较较是一种常用的处处理问题问题 方法。2.2.1 相关系数 两个信号的近似关系可用比例系数c来联联系，两个信号的相等关系可由误误差e(n)来联联系，这这种比较应该较应该 有一个时时序范围围a, b 。(2.20)(2.21)7数字信号处理Enjoy Science寻寻找让让两个信号x(n)和y(n)最相似的比例系数c0，可采 用误误差的绝对值绝对值 的平方作为为判断标标准，它在时时域a, b的平均值值叫均方误误差它能综综合地表现现两个信号之间间的相似关系。求E对对c 的导导数可解出最佳比例系数c0 。(2.22)(2.23)8数字信号处理Enjoy Science
6、现现在求E对对c的导导数，将公式(2.23)的两个方括号看作 复合函数，得再对对公式(2.24)归类归类 整理得为寻为寻 找函数E的极点，令函数E的导导数为为0；在这这种情 况下，公式(2.25)中必须须是(2.24 )(2.25 )(2.27)9数字信号处理Enjoy Science所以，让让信号y(n)与x(n)最相似的比例系数是将c0代入均方误误差公式，可算出用c0y(n)表示x(n)的最 小均方误误差 (2.28)(2.31)10数字信号处理Enjoy Science将Emin除以等式右边边第一项项，可得最小均方误误差的另 一种表达方式，即 其中符号叫做相关系数，它是判断两个信号相似性
7、的重要参数 。(2.32)(2.33)11数字信号处理Enjoy Science根据施瓦茨不等式进进行推导导，相关系数的绝对值绝对值 |r|1 ，说说明|r|的最大值为值为 1。将它与公式结结合，能说说明在时时序范围围a, b： （1）系数r的绝对值绝对值 越大，Emin (相对对)越小； （2）当|r|=1时时，误误差E(相对对)=0，为为最小，即y(n)与 x(n)最相似； （3）当|r|=0时时，误误差E(相对对)=1，为为最大，即y(n)与 x(n)最不像。(2.32)12数字信号处理Enjoy Science如果不考虑虑相关系数的分母，则则可得到简简化的相关系 数表达式它的缺点是没有
8、固定的最大值值，优优点是计计算过过程简简 单单。例题题2.3 将w(n)作为为参考信号，观观察x(n)、y(n)、z(n) ，哪个更像w(n)？(2.38)图2.1013数字信号处理Enjoy Science解 相关系数有两种表达形式。由于信号都是实实数序 列，所以相关系数公式的共轭轭符号 * 可以省略。 （1）若用标标准的相关系数进进行分析，如公式(2.40)所 示，r(w, x)0.96，r(w, y)0.87，r(w, z)0.99。比较较三 者知道，w(n)与z(n)的相关系数最大，这这与看图图的感 觉觉比较较接近。 （2）若用简简化的相关系数进进行分析，如公式(2.41)所 示，r(
9、w, x)=9，r(w, y)=6，r(w, z)=5。比较较三者知道 ，w(n)与x(n)的相关系数最大，这这与看图图的感觉觉相距 较远较远 。 此题说题说 明：在与不同的信号相比较时较时 ，由于标标准相 关系数有最大值值，所以衡量信号的相似性，用标标准的 相关系数较较好。14数字信号处理Enjoy Science例题题2.4 一段语语音信号x(n)与正弦波信号y(n)相比， 请请分析它们们在时时序范围围1, 24480的相似程度。解 本题题的计计算量很大，需要计计算机辅辅助。假设设行向 量x表示序列x(n)，行向量y表示序列y(n)，图2.1115数字信号处理Enjoy Science那么
10、，信号乘积积的累加运算可以用矩阵阵运算表示，即上式中的符号“”表示矩阵阵y的共轭转轭转 置。 （1）若用标标准的相关系数进进行分析，|r标标准|=0.0079， 它远远小于标标准相关系数的最大值值1，说说明x(n)与y(n)不 相似。（2）若用简简化的相关系数进进行分析，|r简简化|=10.6637 ，它远远大于1；但是，简简化的相关系数没有最大值值作 为为参考，所以这这个10.6637并不能说说明它相似到什么 程度。(2.42)16数字信号处理Enjoy Science2.2.2 相关函数 实际应实际应 用中，常需要将参考信号x(n)在时时序a, b的一 段与另一个信号y(n)的各段分别别进
11、进行比较较，以此获获取 有用信息。 比如，x(n)分别别与y(n-15)、y(n)、y(n+15)等对对比，图2.1217数字信号处理Enjoy Science因为这为这 种比较较是对对y(n)的各段相关系数进进行比较较，所 以比较过较过 程可以用数学公式表示，省略了标标准相关系数的分母。当然这这种比较过较过 程也可以用数学公式表示。这这种相关系数r(n)与n有关，故叫相关函数。相关函数的应应用非常广泛，一般将它分成两类类：自相 关函数和互相关函数。它们们是分析信号的相似性和信 号的关联联性的重要数学工具。(2.43)(2.44)18数字信号处理Enjoy Science2.2.3 自相关函数
12、 如果参与对对比的信号是同一个信号，这这种相关函数叫 自相关函数，用符号表示。自相关函数能提取信号中蕴蕴含的周期信号，因 为为周期函数的自相关函数还还是周期函数。例题题2.5 请请分析周期为为N的周期信号x(n)的自相关函数 rxx(n)的特点，并以此说说明噪声信号的自相关函数的特 点。(2.45)19数字信号处理Enjoy Science解 根据周期序列的公式x(n)=x(n+N)。现现在用n+N代 换换自相关函数公式(2.45)的n，得到它符合周期序列的定义义。这这说说明，周期信号的自相关 函数还还是周期函数，它的周期和被比较较的信号的周期 相同。反过过来说说明，非周期信号的自相关函数还还
13、是非 周期函数。(246)20数字信号处理Enjoy Science例题题2.6 假设设有一个在0, 60内是周期变变化的矩形波信 号f(n)，其周期N=10，其它时间时间 f(n)都是0。请计请计 算该该 矩形波在时时段0, 60内的自相关函数rff(n)，并画出该该 自相关函数的波形。解 根据自相关函数的公式(2.45)，矩形波信号在时时段 0, 60的自相关函数是公式(2.45)中的共轭轭符号在这这里被省略，因为为矩形波 序列是实实数序列，实实数的共轭还轭还 是它本身。注意观观 察rff(n)，它的非0值值分布在时时序n=-6060之间间，手工 计计算这这些非0的自相关函数值值是不现实现
14、实 的。(2.47)21数字信号处理Enjoy Science经计经计 算机用MATLAB软软件进进行计计算并绘图绘图 得，观观察该图该图 可知，该该自相关函数rff(n)的波形具有周期 性衰减的特点，其最大值值出现现在n=0的地方，函数 rff(n)具有偶对对称特点。图2.1322数字信号处理Enjoy Science例题题2.7 有一个噪声信号noise(n)，它有501个样样本， 请请分析noise(n)的自相关函数。解 实实数噪声noise(n)的自相关函数公式按照这这个公式计计算，没有规规律的噪声noise(p)乘 noise(p+n)之积积在相加时时将互相抵消。用MATLAB的噪声
15、函数randn产产生一段长长度N=501点 的噪声信号noise(n)，经计经计 算机计计算和处处理可得自相 关函数rnn(n)的数据和图图形，(2.48)23数字信号处理Enjoy Science该图说该图说 明，噪声没有规规律，所以noise(p)乘noise(p+n) 之积积相加时时互相抵消，rnn(n)除了在n=0处处最大，其它 地方数值值都比较较小。图2.1424数字信号处理Enjoy Science例题题2.8 噪声信号的自相关函数的特点是：它的数值值 的只有在n=0的地方很大，其它地方都很小。请请你利 用自相关函数的这这个特点，介绍绍在海水下探测测遥远远 舰舰艇发动发动 机声音的
16、原理。解 假设设engine(n)是发动发动 机的周期声音，noise(n)是海 洋的噪声，s(n)是海底探测测到的信号，三者的关系是从图图2.15的上图图看，不容易看出s(n)含有周期信号，(2.49)25数字信号处理Enjoy Science经过经过 对对s(n)的自相关函数进进行计计算，即图2.1526数字信号处理Enjoy Science该该公式的噪声自相关函数rnn(n)是很小的，其波形也 显显示了这这个特点，所以rss(n)具有周期变变化的特点。 这这说说明自相关函数能提取隐隐藏在信号中的周期信号， 还还能抑制噪声信号。(2.50)27数字信号处理Enjoy Science2.2.4 互相关函数 如果参与对对比的信号是两个不同的信号，这这种相关函 数叫互相关函数，用符号表示。互相关函数提供参考
