数值分析在岩土工程中的应用

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1、数值分析方法 在岩土工程中的应用简介1数值分析方法 在岩土工程中的应用简介A Brief Introduction to the Application of Numerical Analysis Method in the Geotechnical Engineering 陈剑 平吉林大学朝阳校区建设工程学 院2005年2月25日原长春地质学院水文地质与工程地质系 或长春科技大学环境与建设工程学院2005年度辽宁省建设厅执业资格注册中心 注册土木工程师(岩土)继续教育培训专用21、基本概 念讲授提纲2、几种常见数值分析方法的 主要特点 3、对数值分析定量结果的理解 3随着计算机技术的发展，科

2、学技术的进步，科学与工程计算(简称科学 计算)的应用范围已扩大到许多学科领域，形成一些边缘学科，例如计算物 理、计算化学、计算力学等。目前，实验、理论、计算已成为人类进行科 学活动的三大方法。为了解某科学与工程实际问题，首先是依据物理、力学规律建立问题 的数学模型，这些模型一般为代数方程、微分方程等。科学计算的一个重 要方面就是要研究解这些数学问题的数值计算方法(适合计算机计算的计算 方法)，然后通过计算软件在计算机上计算出实际需要的结果。数值分析内 容包括；函数的插值与逼近方法，微分与积分计算方法，线性方程组与非 线性方程组计算方法，常微分与偏微分数值解等。何谓数值分 析1、基本概 念 4“

3、应用力学”领域内的很多课题，工程师和科学工作者近年来一般用数 值方法来求解，获得显著成功。这主要由于目前力学课题本身的复杂性 非均质、非线性以及复杂的加荷条件及边界条件，精确解已无能为力。 数值分析的必要 性 数值分析的可能性 计算机的迅速发展，也使数值分析得到有效而经济的成果。1、基本概 念 5力学求解方法精确解数值方法实验手段差分法有限元法边界元法变分法加权余量法在量测手段得到改进的今天，少数课题利用实验室的结构模型试验或 离心模型试验也可以得到定性或甚至定量的结果。这样，上述力学求解方 法可列成下表：数值分析是主要求解方法 1、基本概 念 6图中数值方法列出最常用的五种：差分法、有限无法

4、、边界元法、变 分法和加权余量法。差分法由英国学者Southwell提出，是转化课题的常微分方程或偏微分 方程为差分方程，然后结合初始及边界条件，求解线性代数方程组。这方 法比校直观，容易编制程序，所以从20世纪40年代末期以来，迄今盛行不 衰。有限元法由英国学者Zienkiewicz提出，以研究区域的变分形式，离散 化所研究的区域，使其成为有限数目的单元。对于边界复杂以及材料属非 线性的课题，与差分法相比，有特殊的灵活性。边界元法由英国学者Brebbia提出，化微分方程为边界积分方程，使用 类似于有限元法的离散技术来离散边界。离散化所引起的误差仅来源于边 界，因之提高了计算精度，依靠边界节点

5、上算得的量，即可计算区域内的 有关物理量，从而减少了准备工作量及计算量。边界元又有直接法及间接 法之分，间接法需要先求取一个虚设的量，多了一道手续，所以相对麻烦 一些。边界元的缺点是对变系数或非线性问题的造就性不如有限元法。香港大学张佑启开展了结构力学有限元法的卓越研究(例如有限条分法 等，同时他在弹性地基上的研究，事实上奠定了边界元法的基本理论。数值分析的主要求解方法 1、基本概 念 7变分法是讨论泛函的极值问题，对上述差分法及有限元法都可起推导 基本公式的作用，而这方法本身，也是数值方法中最古老的方法。加权余量法，可以引入试函数和权函数的方法，从微分方程中直接求 出近似的数值解。它的优点是

6、可以避免建立能量方程，使一些无法求得能 量方程的课题，也得到了较精确的解答。1、基本 概 念数值分析的主要求解 方 法82.1 有限元Finite Element Method (FEM)在众多的工程数值计算方法中，有限单元法(Finite Element Method，缩 写为FEM)很早就以其适用性强和处理非均质、非线性、复杂边界诸多问题 方便等突出优点而成为工程数值分析最有效的通用工具。经过近半个世纪 的发展，有限单元法已十分成熟并在各个领域的工程分析中广泛应用。岩土工程中最基本的两种分析方法是总应力分析(Total stress Ana1ysis) 法和有效应力分析(Effective

7、 stress Analysis)法。与此相应，岩土工程中的 有限元法也可分为总应力分析有限元法和有效应力分析有限元法。l 966年 ，cloughu等首先将总应力分析有限元法用于土坝的应力和变形分析。1969 年，sandhu和wilson用有限元法分析了Biot二维固结问题，开创了岩土工程 有效应力分析有限元法的先河。在国内，沈珠江(1977)首先将有效应力分 析有限元法应用于软土地基的固结变形分析。2、几种常见数值分析方法的主要 特点 92.1 有限元Finite Element Method (FEM)2、几种常见数值分析方法的主要 特点 正确的剖分不正确的剖分对于土体，总应力分析法是

8、将其视为固体来分析的。因此岩土工程中 的总应力分析有限元法与一般固体力学中的有限无法是相同的。有效应力 分析法则严格区分土体中分别由土颗粒骨架、孔隙水和孔隙气传递或承受 的应力，并考虑土骨架变形、孔隙水压力消散和孔隙气压力消散三者的耦 合作用，因而比总应力分析法更接近实际，但远较之复杂。对于岩体，因 其本身可视为固体，故与之相应的分析只能是总应力分析。从有效应力原 理出发，可将总应力分析视为有效应力分析的一种特殊形式。因此，总应 力有限元分析法也可视为有效应力分析有限元法的一种持殊形式。10研究表明，对于大多数岩土工程问题，无论是进行总应力分析还是进 行有效应力分析，均可归结为对Biot动力固

9、结方程的求解。因此，可将Biot 动力固结方程作为岩土工程问题的总控制方程。岩土工程中的基本方程包括土体平衡(或运动)方程、物理(或本构)方程 、几何方程、有效应力原理、孔隙流体(水)平衡方程、连续方程等。总控 制方程(即Biot动力固结方程)由这些基本方程组合而成。总控制方程的推导基于以下假定：(1) 土体是完全饱和的横观各向同性弹性体。(2) 土体的变形是微小的。(3) 土颗粒和孔隙水不可压缩。(4) 孔隙水相对于土骨架的渗流运动服从Darcy定律，其惯性力可不计。(5) 应力应变的正负号法则与弹性力学相反。2.1 有限元Finite Element Method (FEM)2、几种常见数

10、值分析方法的主要 特点 112.2 离散单元Discrete Element Method (DEM) 一般从宏观意义上说，岩石可以视为连续介质，从而可以用弹性力学或 塑性力学的方法来进行分析和计算。但在某些情况下，岩体却不能视做连续 介质，如地下节理岩体中的巷道(见下图)，这时，就不宜用处理连续介质的 力学方法来进行计算。于是，离散单元法作为一种处理节理岩体的数值方法 就应运而生。2、几种常见数值分析方法的主要 特点 可行的12近几十年来，离散单元法有了长足的发展，已成为解决岩土力学问题的 一个重要的数值方法，越来越受到人们的重视。因为工程中所见到的岩体其 形态常呈非连续结构，所形成的岩石块

11、体运动和受力情况多是几何或材料非 线性问题，所以很难用解决连续介质力学问题的有限单元法或边界单元法等 数值方法来进行求解，而离散单元法正是充分考虑到岩体结构的不连续性， 适用于解决节理岩体力学问题。离散单元法除了用于边坡、采场和巷道的稳 定性研究以及颗粒介质微观结构的分析外，已扩展到用于研究地震、爆炸等 动力过程和地下水渗流、热传导等物理过程。离散单元法与其他数值方法(如有限单元法、边界单元法等)耦合更能发 挥各自方法的优点。例如，用边界单元法考虑远场应力的影响以模拟弹性的 性质，用有限单元法作为中间过渡考虑塑性变形，再用离散单元法考虑近场 不连续变形的情况，从而极大地扩展了数值方法的解题范围

12、。2.2 离散单元Discrete Element Method (DEM) 2、几种常见数值分析方法的主要 特点 13离散单元法的基本思想离教单元法也像有限单元法那样，将区域划分成单元(见图13(a)。 但是，单元因受节理等不连续面控制，在以后的运动过程中，单元结点可 以分离，即一个单元与其邻近单元可以接触，也可以分开(见图I3(b)。 单元之间相互作用的力可以根据力和位移的关系求出，而个别单元的运动 则完全根据该单元所受的不平衡力和不平衡力矩的大小按牛顿运动定律确 定。 2.2 离散单元法Discrete Element Method (DEM) 2、几种常见数值分析方法的主要 特 点14

13、离散单元法是一种显式求解的数值方法。该方法与在时域中进行的其他 显式计算相似，例如与解抛物线型偏微分方程的显式差分格式相似。 “显式 ”是针对一个物理系统进行数值计算时所用的代数方程式的性质而言。在用 显式法计算时，所有方程式一侧的量都是已知的，而另一侧的量只要用简单 的代入法就可求得。这与隐式法不同，隐式法必须求解联立方程组。在用显 式法时，假定在每一迭代时步内，每个块体单元仅对其相邻的块体单元产生 力的影响，这样，时步就需要取得足够小，以使显式法稳定。由于用显式法 时不需要形成矩阵，因此可以考虑大的位移和非线性，而不必花费额外的计 算时间。2.2 离散单元法Discrete Element

14、 Method (DEM) 2、几种常见数值分析方法的主要 特点 15离散单元法在国内外的发展状况离散单元法一般认为是Cundall于1971年提出来的。该法适用于研究在 准静力或动力条件下的节理系统或块体集合的力学问题，最初用来分析岩 石边坡的运动。到1974年，二维的离散单元法程序趋于成熟，当时已有屏 幕图形输出的交互会话功能。但由于受计算机内存的限制，不少程序是用 汇编语言写成，到1978年才全部翻译成FORTRAN IV的文本，成为离散单 元法的基本程序。与此同时，Cundall和 Strack还开发了二维圆形块体的 BALL程序，用于研究颗粒介质的力学行为，所得结果与Drescher

15、等人用 光弹技术的实验结果极为吻合，使BALL程序在研究颗粒介质的本构方程 方面大放异彩。Lemos于1983年开发了离散单元法与边界单元法耦合的半平面程序， 并用于计算节理和断裂介质中的应力分布问题。2.2 离散单元法Discrete Element Method (DEM) 2、几种常见数值分析方法的主要 特 点16Lorig于1984年开发了包括前处理和后处理的离散单元法与边界单元法 耦合程序。 翌年他到澳大利亚英联邦科学与工业发展组织的岩土力学研究 所，修改了他原先的程序。这个修改后的程序文本称为HYDEBE(HYBRID DISCRETE ELEMENT BOUNDARY ELEME

16、NT)，其功能更强，包括一个 前处理程序CREATE，类似于有限单元法程序中的自动划分网格，一个与 边界单元法耦合程序BOUND和一个离散单元法程序BLOCK。Cundall于1980年就开始研究块体在受力后变形以及根据破坏堆则允许 断裂的离散单元法， 这显然是将块体视为刚体的离散单元法的一个进步。 Cundall称这种方法为UDEC(UNIVERSAL DISTINCT ELEMENT CODE)， 该程序最后于1985年完成。UDEC现已广泛用于岩土力学和采矿工程，被公 认为对节理岩体进行数 值模拟的一种行之有效的方法。2.2 离散单元法Discrete Element Method (DEM) 2、几种常见数值分析方法的主要 特 点17至于三维离散单元法的发展则要迟些，共主要原因是数据结构复杂， 要求计算机应具有较大的容量，并且计算结果的图形显示较为困难，如切 一剖面，块体间一般来讲是不接触的，犹如浮在空中，看起来不直观。三 维离散单元法程序3DEC(3DIMENSIONAL DISTINC