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1、 在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果的一种方法。引 言基 本 概 念 试验指标试验结果。 可控因素在影响试验结果的众多因素中，可人为控制的因素。水平可控因素所处的各种各种不同的状态。每个水平又称为试验的一个处理。单因素试验如果在一项试验中只有一个因素改变，其它的可控因素不变，则该类试验称为单因素试验。引例 例1 （灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产
2、了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿 命（单位：小时），数据如下：灯泡 寿命 灯丝丝12345678甲1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800乙1580 1640 1640 1700 1750丙1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820丁1510 1520 1530 1570 1680 1600灯泡的使用寿命试验指标 灯丝的配料方案试验因素（唯一的一个） 四种配料方案（甲乙丙丁）四个水平 因此，本例是一个四水平的单因素试验。 引 例 用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为 四个总体。假设X1，X2，X
3、3，X4相互独立，且服从方差 相同的正态分布，即XiN（i，2）（i=1，2，3，4）本例问题归结为检验假设 H0：1= 2= 3= 4 是否成立 我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不同水平对试验指标是否有影响。设 A 表示欲考察的因素，它的 个不同水平，对 应的指标视作 个总体 每个水平下,我们作若干次重复试验： （可等重复也可不 等重复），同一水平的 个结果，就是这个总体 的一个样本： 单因素试验的方差分析因此，相互独立，且与 同分布。 单因素试验资料表其中诸 可以不一样，水平 重复1.ni（水平组内平均值）（总平均值）试验结果纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造成；
4、横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。品种 重复123例：五个水稻品种单位产量的观测值P165由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，所以设：其中 为试验误差，相互独立且服从正态分布线性统计模型单因素试验的方差分析的数学模型具有方差齐性。相互独立，从而各子样也相互独立。首先，我们作如下假设： 即 令 （其中 ）称为一般平均值。称为因素A的第 个水平 的效应。则线性统计模型变成于是检验假设： 等价于检验假设： 显然有： 整个试验的均值 考察统计量经恒等变形，可分解为：其中组间平方和（系 统离差平方和）反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。如果H0 成立，则S
5、SA 较小。若H0成立，则总离差平方和 见书P168 其中 组内平方和 误差平方和这里反映的是重复试验种随机误差的大小。表示水平Ai的随机误差； 表示整个试验的随机误差若假设 成立，则 由P106定理5.1可推得：将 的自由度分别记作则（记 ，称作均方和）（各子样同分布） 则（记 ，称作均方和）对给定的检验水平 ，由得H0 的拒绝域为：F 单侧检验结论：方差分析实质上是假设检验，从分析离差 平方和入手，找到F统计量，对同方差的多个正态总体的均值是否相等进行假设检验。单因素试验中两个水 平的均值检验可用第七章的T检验法。思考：为什么此处只做单侧检验？ （1）若 ，则称因素的差异极显著（极有统计意
6、 义），或称因素A的影响高度显著，这时作标记 ；约 定 （2）若 ，则称因素的差异显著（差异 有统计意义），或称因素A的影响显著，作标记 ；（3）若 ，则称因素A有一定影响，作标记（ ）；（4）若 ，则称因素A无显著影响（差异无统计意义）。注意：在方差分析表中，习惯于作如下规定：单因素试验方差分析表方差来源组间组内总和平方和 自由度均方和F 值F 值临介值简便计算公式：其中同一水平 下观测值 之和 所以观测 值之和例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。饲料ABC增重51 40 43 4823 25 2623 28解：解：不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。列方差分析表方差来源组间组内总和平方和 自由度均方和F 值F 值临介值例2的上机实现步骤1、输入原始数据列，并存到A，B，C列； 各水平数据放同一列各水平数据放在不同列2、选择StatANOVAone-way(unstacked) 不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。定理 在单因素方差分析模型中，有 如果H0不成立，则 所以， 即H0不成立时， 有大于1的趋势。 所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
