第四章 连续系统的频域分析

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1、第四章 傅里叶变换4.1 正交函数 4.2 周期信号的频谱分析4.3 典型周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱分析4.5 典型非周期信号的频谱引言引言1引言引言2频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（ 频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数 或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。 3发展历史 1822年，法国数学家傅里叶

2、(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 4主要内容 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始

3、讨论，引出傅 里叶变换，建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里 叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅 里叶变换的一种特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。5傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数 级数表示” 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中6傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 17681830 ) 法国数学家。1

4、768年3月21日生于奥塞 尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远 征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法 国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅 里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科 学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学 院院士。在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。7在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)

5、表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中 宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.- L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几

6、次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在“热的分析理论“这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书 已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成 就。8书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角 级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅 里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函 数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角 级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍 性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。傅里叶的创

7、造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求 解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特 别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广了函数概 念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其 他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“ 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学 史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。9傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”傅里叶的第一 个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” 傅里叶的第二个主要论点10 域分析：傅里叶变

8、换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：Z 变换，自变量为z变换域分析：114.1 正交函数 正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号12一、正交矢量矢量：V1 和 V2 参加如下运算， 是它们 的差，如下式：13表示 和 互相接近的程度当 ， 完全重合，则随夹角增大， 减小；当 ， 和 相互垂直14二维正交集 三维正交集 15二、 正交函数令 则误差能量 最小16解得17正交条件若 ， 则 不包含 的分 量，则称正交。正交的条件：18例：试用sint 在区间（0，2 ）来近似1t0-119解：所以 ： 20例：试用正弦sint 在（0，2 ）区

9、间内来表示余弦cost显然所以说明cost 中不包含 sint 分量，因此cost 和 sint 正交.21三、 正交函数集n个函数 构成一函数集 ， 如在区间 内满足正交特性，即则此函数集称为正交函数集22任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似由最小均方误差准则，要求系数 满足23在最佳逼近时的误差能量归一化正交函数集：24复变函数的正交特性两复变函数正交的条件是25四 用完备正交集表示信号26另一种定义：在正交集 之外再 没有一有限能量的x(t)满足以下条件 三角函数集 复指数函数集274.2 周期信号的频谱分析 周期信号可展开成正交函数线性组合的 无穷级数：. 三角函数式的 傅立里叶级

10、数 cosn1t, sinn1t . 复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 28一、三角函数的傅里叶级数:直流 分量基波分量 n =1谐波分量 n129直流 系数余弦分量系数正弦分量系数30狄利赫利条件： 在一个周期内只有有限个间 断点； 在一个周期内有有限个极值 点； 在一个周期内函数绝对可积 ，即 一般周期信号都满足这些条 件.31三角函数是正交函数32周期信号的另一种 三角函数正交集表示33比较几种系数的关系34周期函数的频谱： 周期信号的谱线只出现在基波频率的 整数倍的频率处。直观看出：各分量 的大小，各分量的频移，Cn35二、周期函数的复指数级数 由前知 由欧拉公式 其中引入了

11、负频率36周期复指数信号的频谱图37指数形式的傅里叶级数的系数两种傅氏级数的系数间的关系38两种傅氏级数的系数间的关系39周期复指数信号的频谱图的特点l引入了负频率变量，没有物理意义，只 是数学推导； l Cn 是实函数，Fn 一般是复函数， l 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正负表示0和相位， 幅度谱和相位谱合一；40三、周期信号的功率特性 P为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理41四、对称信号的傅里叶级数三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有：偶函数项 奇函数项42周期偶函数只含直流和 其中

12、a是实数 bn=0 Fn是实数43例如:周期三角函数是偶函数Ef(t)T1/2-T1/2t44周期奇函数只含正弦项Fn为虚数45例如周期锯齿波是奇函数E/2-E/2T1/2 -T1/2f(t)t046奇谐函数 ：l沿时间轴移半个周期； l 反转； l 波形不变；l半周期对称47奇谐函数 的波形： f(t)T1/2-T1/20t48奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为049例：利用傅立叶级数的对称性判断所 含有的频率分量周期偶函数，奇谐函 数，只含基波和奇次 谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函 数，只含基波和奇次 次谐波的正弦分量50含有直流分量和正弦分 量只含有正弦分量含有直流分量和余

13、弦分量51五、傅里叶有限级数如果完全逼近，则 n= ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N1项逼近，则52误差函数和均方误差 误差函数 均方误差53例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。E/2-E/2T1/4-T1/4 t54对称方波有限项的傅里叶级数 N=1 N=2 N=355有限项的N越大，误差越小例如: N=1156由以上可见： N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿 ； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时 ，波形将会失真 有吉伯斯现象发生574.3 典型周期信号的

14、频谱周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波脉冲信号 周期全波脉冲信号58一、周期矩形脉冲信号的频谱f(t)f(t)t t0 0E E-T-TT T5960x(t)x(t)F Fn nt t0 00 0E ET T-T-T61频谱分析表明 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲 周期越大，谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成 正比，与周期成反比。 各谱线的幅度按 包络线变化。过 零点为： 主要能量在第一过零点内。主带宽度为 ：62周期矩形的频谱变化规律： 若T不变，在改变的情况 若不变，在改变T时的情况T T63对称方波是周期矩形的特例T T1 1T T1 1/4/

15、4- -T T1 1/4/4实偶函数实偶函数周期矩形周期矩形 奇谐函数奇谐函数对称方波对称方波 奇次余弦奇次余弦64对称方波的频谱变化规律T TT/4T/4-T/4-T/4奇次谐波奇次谐波0 0 0 00 065傅立叶级数傅立叶级数 的系数T1 信号的周期脉宽基波频率1傅立叶级数小结66当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了 非周期信号的单脉冲信号频率也变成连续变量4.4 非周期信号的频谱分析67频谱演变的定性观察-T/2-T/2T/2T/2T/2T/2- -T/2T/2681.从周期信号FS推导非周期的FT傅立叶傅立叶 变换变换692.傅立叶的逆变换傅立叶傅立叶 逆变换逆变换703.从物理意义来讨论FT(a) F()是一个密度函数的概念