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1、第三章 自适应数字滤波器 3.1 引言 3.2 LMS横向自适应滤波器 3.3 LMS格型自适应滤波器 3.4 LS自适应滤波 3.5 自适应滤波的应用 3.1 引 言n自适应数字滤波器n自适应数字滤波器的应用1、自适应数字滤波器n维纳滤波存在的问题：适用于平稳随机信号的最佳滤波；维纳滤波器的参数是固定的；必须已知信号和噪声的有关统计特性。n自适应数字滤波器：利用前一时刻已获得 的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻 的滤波器参数，以适应信号与噪声未知的 或随时间变化的统计特性，从而实现最优 滤波。维纳滤波器的输入输出关系自适应滤波器原理图 e(n)=d(n)-y(n) 自适应滤波器H(z)的系
2、数根据误差信号，通过一定的自适应 算法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 实际中，d(n)要根据具体情况进行选取。n自适应滤波器的特点：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调 整到最佳滤波，是一种最佳的时变数字滤 波器；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验 统计知识；具有学习和跟踪的性能。2、自适应数字滤波器的应用n1967年由美国B.Windrow 及Hoff等人提出自适应 数字滤波算法，主要用于随机信号处理。n自提出以来，自适应滤波器发展很快，在各个方 面得到了广泛的应用：系统模型识别；通信信道的自适应均衡；雷达与声纳的波束形成；消除心电图中的电源干扰；噪声中信号的检
3、测、跟踪、 增强和线性预测等。n 自适应滤波器分类： FIR自适应滤波器、IIR自适应滤波器 最小均方误差（LMS）自适应滤波器、最小二乘（ LS）自适应滤波器 横向结构、格型结构3.2 LMS自适应滤波器nLMS自适应滤波器的基本原理n最陡下降法nWidrow-Hoff LMS算法 nLMS算法的收敛性质1、LMS自适应横向滤波器的基本原理e(n)=d(n)-y(n) 表示成矩阵形式： 式中 误差信号表示为 图 3.1.3 自适应线性组合器 图 3.1.4 横向FIR结构的自适应滤波器 n 利用LMS准则求最佳权系数和最小均方误差误差信号被用来作为权系数的控制信号。均方误差（性能 函数）为
4、上式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时， 均方误差信号Ee2j是权系数的二次函数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。图 3.2.5 二维权矢量性能表面 调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物形 曲面下降到最小值。 在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量的各元 素得到均方误差Eej2的最小值。n用 表示Eej2的梯度向量，用公式表示如下： 为求最佳权系数，令 即 当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信号是正交的。可以得到 最佳权矢量W*： 均方误差将取最小值：或者将上式取转置，用下式表示： 2、 最陡下降法n采用最优化的数学算法最陡下降法（ S
5、teepest Descent Method），搜索性能函数表 面寻找最佳权系数。 自适应过程的物理意义n 最陡下降法的递推公式 其中,是一个控制稳定性和收敛速度的参量，称之 为收敛因子。 方向是性能函数下降最快的方向 ，因此称为最陡梯度下降法。 Ee2(j)与W的关系在几何上是一个“碗形”的多维 曲面。 收索方向为梯度负方向，每一步更新都使目标函 数值减小。3、 Widrow-Hoff LMS算法 n由Widrow等人提出，采用梯度的估计值代 替梯度的精确值。n LMS算法的权值计算 LMS(Least Mean Square)算法的梯度估计值用一条样本曲线进行计算，公式如下： 因为 所以
6、对梯度估计值求统计平均， 得到 上式说明梯度估计值是无偏估计的，梯度的估计量在理想梯 度j附近随机变化。 最陡下降法的递推公式修改为： 权系数也是在理想情况下的权轨迹附近随机变化的 搜索方向为瞬时梯度负方向，不能保证每一步更新都使目 标函数值减小，但总趋势使目标函数值减小。4、 LMS算法的收敛性质对加权矢量取统计平均： 令 Vj=Wj-W* (3.2.58) 那么 EVj+1=EWj+1-W* (3.2.59) EVj=EWj-W* V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。将上面两式代入(3.2.57)式中，得到 它的递推解是 将Rxx进行分解，得到 Rxx=QTQ,=QTRxxQ
7、 其中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，是由特征值组成的对角矩阵， 用下式表示： 令 得到 (3.2.62) 由 EVj=EWj-W* LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化 的， 其统计平均值等于最陡下降法的加权矢量。 LMS算法加权矢量的收敛条件为 (3.2.64) n 加权矢量的的收敛条件 收敛条件还可以表示为值对收敛稳定性和收敛速度影响很大，首先必须选择得 足够小，使之满足收敛条件，同时，它还影响收敛速度。 n 加权矢量的收敛性质W*W WjWEej2图 3.2.7 值的影响(a) 较小时的情况； （b） 较大时的情况 权矢量的过渡过程：n LMS算法的过渡过程 由(3.2.6
8、2)式，第i个分量为 (3.2.68) (3.2.62) 引入时常数i, (3.2.69) (3.2.70) (3.2.71) 同样，第i个权系数可以表示成(3.2.72) 令 n LMS算法性能函数的过渡过程按照(3.2.4)式， 信号误差为 (3.2.73) 其中，最佳误差信号为 按照(3.2.73)式写出均方误差表示式： 假定Xj和Vj不相关，上式中最后一项为0，那么 假设加权系数变化很小，Vj也变化很小，EVjVj，这样： 类似前面的推导，得到 (3.2.74) (3.2.75) LMS算法的学习曲线同样近似为几个不同时间常数的指数和， 性能函数的衰减时间常数约为最佳权系数衰减时间常数
9、的一半 。 最终的收敛要取决于最慢的指数过程，它的时常数最大，对 应最小的特征值，公式如下： n 稳态误差和失调系数 存在问题：实际中，工作于实时的自适应算法，权系数不能完全收敛于最佳值，只是其平均值可以收敛到最佳值。这是由于采用梯度的估计值代替梯度值而产生的估计误差。 解决方法：引入失调系数M进行描述，其定义为 上式说明，和输入功率加大都会增加失调系数。跟踪能力越好，曲线稳态越接近横轴。图 3.2.10 LMS算法稳态误差 上式说明，当选择足够长的 ，M可以做到任意小。但当 一定时，M随着权数目N的增加而增大。另一方面， 越小，收敛也会越快。如此，便产生了动态特性和静态特性的矛盾，这就要求我
10、们在收敛速度和失调量间取得适当的折中。一般而言，迭代次数选择为 。 例 设M=10%（一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求）并设N=10，问应该取多少次迭代数？解：按经验实际 迭代次数应取100（=10滤波器长度N）或取图 3.2.11 LMS算法的学习曲线 3.3 LMS格型自适应滤波器n预测误差滤波器n预测误差格型滤波器nLMS格型自适应滤波器1、 线性预测误差滤波器n 前向预测误差为 将前向预测误差用 表示，上式重写为 前向预测误差滤波器 将上式用矩阵方程表示为 其Yule-Walker方程式为：n 假设前、后向预测器具有相同的系数，则后向预测误差为 后向预测误差用 表示，上式可写
11、为：后向预测误差滤波器 n 前、 后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是 为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，需要解Yule-Walker方程，求解方法采用Levinson-Durbin算法。 Levinson-Durbin的一般递推公式如下： 其中，kp称为反射系数。2p和2p-1是预测误差的均方值，因此1-k2p必须大于等于0，这样kp应要求满足下式： 由上式可知，预测误差随递推次数增加而减少。2、预测误差格型滤波器n 由预测误差滤波器导出格型滤波器将前面已推导的前向预测误差公式重写如下: 将系数ap,k(k=1,2,3,p)的递推公式代入上式，并令kp=ap,p，得到 由此，便可
12、得到前向预测误差的递推公式， 即 类似地，得到后向预测误差的递推公式为 对于p=0的情况， 得到 图 3.3.5 全零点格型滤波器 n 格型滤波器的性质(1) 各阶后向预测误差相互正交。 用公式表示如下： (2) 平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征。(3) 前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，即它的全部零点在单位圆内。后向预测误差滤波器是一个稳定的最大相位滤波器，全部零点在单位圆外。 3、LMS格型自适应滤波器n在满足预测误差的均方值最小的准则下，最佳自 适应格型滤波器求解关键在于计算出反射系数。 其方法有： 采用使前、后向预测误差功率的和为最小的原则求反射系数 。 公式为 即 可以得到
13、实际计算时，上式中的统计平均值用时间平均计算， 公式为 对于复信号情况，公式为 如果输入数据为x(i), i=0, 1, 2, , n， 当p=1时， 这里 因此 当p=2时， 其中 以此类推，可以得到 的具体计算公式为 这种算法必须从低阶推起，要求较大的存储时间，有较大的计算延迟，使应用受到限制。 采用梯度算法计算反射系数其中，将上式代入前一式中， 得到 式中，=2，为步长因子。 最小均方误差(LMS)滤波（统计分析法） 最小二乘(LS)滤波（精确分析法）3.4 最小二乘自适应滤波n 最小二乘的基本问题已知n个数据x(1),x(2),x(n)，采用M个权的FIR滤波器对数据进行滤波，假设期望
14、信号为d(i)，滤波器的输出 是对期望信号d(i)的估计 n时刻的估计误差为 图 3.4.1 M个权的FIR滤波器 误差信号的平方加权和为 为了后面叙述方面，引入一些符号。e(n)=e(1), e(2), , e(n)T d(n)=d(1), d2), , d(n)T XM(n)=xM(1),xM(2),xM(n) n 最小二乘估计的模型描述 令误差信号能量为J，并取加权矩阵=I，则 3.5 自适应滤波的应用n自适应抵消器n自适应逆滤波1、自适应抵消器n自适应滤波器的重要特性：能有效地在未知环境 中跟踪时变的输入信号，使输出信号达到最优。n自适应噪声抵消器，利用干扰源的输出，通过一 个数字滤波
15、器，最佳地估计出干扰值，从而从混 有干扰的输入中减去干扰估值，实现了干扰与信 号相当完善的分离。输入：原始信号（含信号与噪声），参考信号（ 与待抵消噪声信号相关）；输出：无噪声信号图 3.5.1 自适应对消系统 n 对消原理 原始输入端：dj=sj+n0, n0是要抵消的噪声，并且与s不相关； 参考输入端：xj =n1，n1是与n0相关、与s不相关的噪声信号； 系统的输出：zj=dj-yj；u滤波器的传输函数可以根据系统的输出信号自动调整，假定 s, n0, n1是零均值的平稳随机过程 输出信号的均方值 由于s与n0, n1不相关，因此s与yj也不相关，则 n 性能分析 参考输入端噪声与原始输入端噪声相关性； 参考输入端存在一定的有用信号。 由此可知，原始信号进来什么信号，出来什么信号，这时自适应滤波器关闭。要使其完成自适应噪声抵消任务，则参考输入必须与被抵消信号相关。若n0与 n1不相关，其与yj也不相关，则 n参考输入端存在一定的有用信号当有信号分量泄漏到参考输入中时，噪声的抵消能力 可以通过比较输入端的信噪比、参考输入端的信噪比及输 出端的信噪比数值大小来评价。 噪声抵消后，输出端
