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1、 31 等比数列 一、等比数列的概念 1一般地，如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于_， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 做等比数列的_，公比通常用字 母q表示(q0) 友情提示：关于等比数列概念的理解应注 意以下几点事项： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故 每一项_，因此q也不能是0； (2)“从第2项起”是因为首项没有_ ； (3)_均为同一常数，即比值相等 ，由此体现了公比的意义，同时还要注意 公比是每一项与其前一项之比，防止前后 次序颠倒； (4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3 项或第4项起每一项与它前一项的比都是 同一个常数，此数列_，这时 可 以
2、说此数列从第2项起或第3项起是一个等 比数列； (5)如果一个数列从第2项起，每一项与它 前一项的比尽管是一个与n无关的常数， 但却是不同的常数，这时 此数列 _； (6)常数列都是等差数列，但却不一定是 _.若常数列是各项都为0的数列 ，它就不是等比数列；当常数列各项不为 0时，是等比数列； (7)证明一个数列为等比数列，其依据是 _，利用这种形式来判定，就便 于操作了 (8)在现实 生活及国民经济 建设中，常出 现增长率(降低率)、复利率等问题 ，多与 等比数列有联系，应用广泛 2与等差中项的概念类似，如果在a与b 中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列 ，我们称G为a，b的_且G(ab
3、0)，即_.在等比数列中 ，首末两项除外，每一项都是它的前一项 与后一项的等比中项 友情提示：关于等比数列中项的理解应注 意体会以下几点： (1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个 ；_时，没有等比中项； (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的_； (3)“a、G、b成等比数列”等价于_ ，可以用它来判断或证明三数成等比数列 同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G ”是不等价的 二、等比数列的通项公式 1通项公式：首项是a1，公比是q的等比 数列的通项公式是_. 2通项公式及其变式的应用 (1)由通项公式ana1qn1可知，已知
4、_就可求出等比数列中的任意一 项； (2)等比数列通项公式ana1qn1中有a1，n ，q，an共四个元素，知三可求一； (3)若an，am是等比数列an的任意两项， 则an_. 等比数列的单调 性如下表：a1a10a1101an 的 单 调 性_ _非 增 非 减增增_ _ _减 三、等比数列的简单 性质 设an是公比为q的等比数列，那么 (1)anamqnm； (2)如果m，n，p，qN*，且mnpq ，则amanapaq(反之不一定成立，例如 常数列)特别地，当mn2p时，有 aman_； 在有穷等比数列中，与首末两项等距离的 二项的积等于首末两项的积； (3)等比数列中每隔一定项取出一
5、项按原来 顺序排列构成的数列仍为等比数列例如 am，a2m，a3m也成等比数列； 1.对等比数列概念与通项公式分别应如何 理解？ (1)一般地，如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示我们要强调一点：“公比q0”等比 数列的首项不为0，等比数列的每一项都 不为0，即an0；另外，我们还强调“从第2 项起”，这是为了保证每一项的前一项存在 公比，它的基本特征是“同一常数”，如 果漏掉了“同一”两字，就会破坏等比数列 中各项的共同性质 (2)对于通项公式应从以下几个方面入手 ： 在公式ana1
6、qn1(nN)中有四个基本 量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个 量，就可以求出另一个量 此公式成立的条件是，nN，q0，且 对n取1,2,3，的一切正整数都成立 由于ana1qn1 qn，当q0且q1时 ，qn对应 于指数函数qx，所以有时可以把 等比数列的通项公式看作是函数y kqx(xN)(或自然数从1起始的某个子集) 这样 的一个函数 在等比数列an中的任意两项可以互相表 示为anamqnm.这也是通项公式的另一种 形式 证明：ana1qn1，amqnma1qm1qnm a1qn1，anamqnm. 2等比数列的判定方法有哪些？应如何 区分等比数列的单调性？ (1)等比数列的判定
7、方法有： anan1q(n2，nN*，q为不等于零的 常数)an是公比为q的等比数列 an1an1(n2，nN*，an、an1、an1均不为0)an是等比数列 ancqn(c、q均为不等于0的常数)an 是等比数列 由上可知判断一个数列是否成等比数列的 方法：定义法、中项法、通项公式法 (2)等比数列的单调 性 在等比数列an中，若设首项为 a1，公比 为q，根据等比数列的定义，有 若a10，q1或a10,01，则数列递减 ； 若q1，则数列为常数列； 若q0， a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等 于_ (2)等比数列an中，若a92，则此数列 前17项之积为_ (3)在等比数
8、列中，若a11，a510，则a9 _. (4)在等比数列an中，a3a4a53， a6a7a824，则a9a10a11的值是_ 答案：(1)5 (2)217 (3)100 (4)192 变式训练5 在等比数列an中，已知a4a7 512，a3a8124，且公比为整数，则 a10_. 分析：利用等比数列的性质，若mnkl ，则amanakal来解决 答案：512 评析：本题若把条件表示为a1、q的形式亦 可解决，但运算步骤较麻烦，因此解题时 要合理选择方法 有些数列问题 并非标准形式的等差、等比 数列问题 但可以通过合理巧妙地变形构 造成一个等差或等比的新数列，由此原问 题便可以通过所学等差或等
9、比数列的知识 得到解决，这种解决问题 的方法还是数学 中转化与化归思想的具体体现，望同学们 慢慢体会并合理的应用 依据等差、等比数列定义或者等差中项、 等比中项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列基本问题 之一，不仅考 查等差数列、等比数列的概念，而且考查 分析、推理论证 的能力，是高考考查中的 重点 例7 有四个数，其中前三个数成等差数 列，后三个数成等比数列，并且第一个数 与第四个和是16，第二个数与第三个数的 和是12，求这四个数当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1. 变式训练7 设an是公差d0的等差数列 ，且ak1，a
10、k2，akn恰好构成等比数列 ，其中k11，k25，k317，求kn. 在等差数列中，akna1(kn1)d(kn 1)d； 在等比数列中，akna1qn1a13n1 2d3n1， (kn1)d2d3n1， kn23n11. 例8 数列an中，a12，an1an cn(c是常数，n1,2,3，)，且a1，a2，a3 成公比不为1的等比数列 (1)求c的值； (2)求an的通项公式 解析：(1)a12，a22c，a323c， a1，a2，a3成等比数列， (2c)22(23c)， 解得c0或c2. 当c0时，a1a2a3，不符合题意，舍去 ，故c2. 变式训练8 数列an的前n项和记为Sn， 已
11、知a11，an1 Sn(n1,2,3，) 证明： (1)数列 是等比数列； (2)Sn14an. 数列实际应 用题常与现实 生活和生产实 际中的具体事件相联系建立数学模型是 解决这类问题 的核心，常用的方法有： (1)构造等差、等比数列的模型，然后再应 用数列的通项公式和求和公式求解；(2)通 过归纳 得到结论 ，在用数列知识求解 建立数学模型时，应明确是等差数列还是 等比数列，是求an，n还是求Sn. 例9 从盛满a L(a1)纯酒精的容器里倒出 1 L，然后灌满水，再倒出1 L混合液后又用 水灌满，如此继续下去，问第n次操作后溶 液的质量分数是多少？若a2时至少应倒 几次后才能使酒精的质量
12、分数低于10%? 变式训练9 如图是一个计算装置示意图 ，J1、J2是数据入口，C是计算结果的出口 ，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和 n，经过计算后得自然数K由C输出，此种 计算装置完成的计算满足以下三个性质： 若J1，J2分别输入1，则输出结果为1； 若J1输入任何固定自然数不变， J2输入自然数增大1，则输出的结果比原来 增大2； 若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输 出结果为原来的2倍 试问 ：(1)若J1输入1，J2输入自然数n，输 出结果为多少？ (2)若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果 为多少？ (3)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输 出结果为多少？ 解析：(1)由条件有f(1,1)1， 由条件知f(m，n1)f(m，n)2， 即当m固定时，f(m，n)成等差数列 f(m，n)f(m,1)(n1)2， 故f(1，n)f(1,1)2n22n1. (2)由条件知f(m1,1)2f(m,1)，即f(m,1) 是一等比数列 f(m,1)f(1,1)2m12m1. (3)综合(1)、(2)知f(m，n)f(m,1)2(n1) 2m12n2. 评析：本题信息量大，粗看不知如何入手 ，但若把条件写成二元函数式，并把它看 做某一变量的函数，抽象出等差或等比数 列模型，问题便迎刃而解.
