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1、1级数 收敛的充分必要条件为成立。 对于任意给定的正数,总存在自然数N使得当nN时，对于任意的自然数p都有：一.复数项级数Cauchy 收敛原理由给定，存在N， 和N一一对应关系, 记为N()复 习2二. 幂级数的收敛半径及其求法：1）Alembert法（比值判别法）则求级数收敛半径：如果绝对收敛，否则发散。收敛半径为 31绝对收敛。 若1发散。R =收敛半径为 对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。2）Cauchy法（根值判别法）求收敛半径三、幂级数性质1、级数在收敛圆内绝对且一致收敛2、级数在收敛圆内部是解析函数（无奇点）。3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。4定理：定理：设f
2、(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点f(z)可展为幂级数其中为圆CR内包含z且与CR同心的圆。四. 解析函数以幂级数展开53.4 解析延拓一定要注意注明成立的条件，否则不成立！（1）（2）（3）（4）对（2）单位圆内部收敛，和是解析函数，但超出单位圆一、问题的提出与解析延拓概念 1、问题的提出6级数发散而没有意义；而右边是1/(1+z2),在除去z士i的全平面上是解析函数，这样我们得到两个函数，其中在较小的一个区域上是解析函数，而另一个在包含此较小区域的较大的区域上是解析函数，且在较小区域上两者相等。问题？：问题？：已给某个区域b上的解析函数f(z)，是否能找到另一个函数F(
3、z)，它在含有区域b的一个较大的区域B上是解析函数，且在区域b上等同于f(z)？解析延拓解析延拓72.解析延拓：若已知f(z)在某个邻域b上解析，若能找到另一个函数F(z)，使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的，并且在区域b上等同于f(z)，这一过程称为解析延拓。解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大。 8二、解析延拓的方法：利用泰勒级数方法进行。选区域b的内点，在的邻域上把解析函数展开。如果这收敛区域有一部分超出b，函数f(z)定义域就扩大了一步，再在超出部分的区域选定一点为中心展开，这样反复下去就可以找到函数所有的解析区域了。9三.函数解析延拓的唯一性：函数f (z)通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数 是唯一的。证明 在b上设用两种方法将函数f(z) 从较小区域b解析延拓到 较大区域B上，得到的函数分别是F1(z)和F2(z).构成新函数，该函数是解析的， 且在b上处处为零,在B上不一定处处为零。10在b的境界线上的点 ,将G(z)在 将G(z)在 的邻域内做泰勒展开。 若系数中首项不为零的是，则：显然，G(z)在B上不为零，若使G(z)在b上处处为零，必须有这样，满足在b上G(z)处处为零，必然要求在整个区域上 处处为零。则在B上处处有：证毕Bbz0
