联立方程模型的估计

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1、6.3 6.3 联立方程模型的估计联立方程模型的估计一、概述二、狭义的工具变量法三、间接最小二乘法四、二阶段最小二乘法一、估计概述1、联立方程偏 误联立方程模型由于联立的结果会产生随机解释变量、多重共线性等问题如果应用OLS对每一个方程分别估计时，必然会出现：（1）内生解释变量与随机误差项是相关的；（2）参数估计量是有偏的且是不一致的这一由于方程联立而产生的偏误，称为联立方程偏误联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：（1）单方程估计方法：每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计。（2）系统估计方法：同时对全部方程进行估计，同时得到所有方程的参数估计量。估计的性质方面，系统估计方法优于

2、单方程估计方法；方法复杂性方面，单方程方法由于系统估计方法 实际中，单方程方法得到广泛应用2、联立方程估 计方法（1）单方程估计方法又称有限信息估计方法，解决了单个方程中的随机解释变量问题，同时利用了其它方程中的其它变量的信息，但未考虑方程间的相关性的影响不同于单方程计量经济学模型的估计方法一类以最小二乘为原理，包括间接最小二乘法（ILS）、两阶段最小二乘法（2SLS）、工具变量法（IV）等另一类不以最小二乘为原理，或不直接从最小二乘原理出发，包括有限信息最大似然法（LIML）、最小方差比方法（LVR）等（2）系统估计方法又称完全信息估计方法，利用了模型系统提供的所有信息，包括方程间的相关性的

3、影响估计性质上由于单方程方法，但比单方程估计方法复杂主要包括三阶段最小二乘法（3SLS）、完全信息最大似然法（FIML）等二、狭义的工具变量法 （IV，Instrumental Variables）方法思路“狭义的工具变量法” 与“广义的工具变量法”解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变量问题。方法原理与单方程模型的IV方法相同。模型系统中提供了可供选择的工具变量，使得IV方法的应用成为可能工具变量的选取 对于联立方程模型的每一个结构方程，例如第1个方程，可以写 成如下形式： 内生解释变量（g1-1）个，先决解释变量k1个。 如果方程是恰好识别的，有（g1-1）=（k- k1）。 可以选择

4、（k- k1）个方程没有包含的先决变量作为（g1-1）个内生解释变量的工具变量。 IV参数估计量 方程的矩阵表示为 选择方程中没有包含的先决变量X0*作为包含的内生解释变量Y0的 工具变量，得到参数估计量为：讨论该估计量与OLS估计量的区别是什么？该估计量具有什么统计特性？（k- k1）工具变量与（g1-1）个内生解释变量的对应关系是否影响参数估计结果？为什么？IV是否利用了模型系统中方程之间相关性信息？对于过度识别的方程，可否应用IV ？为什么？对于过度识别的方程，可否应用GMM ？为什么？5. 结论工具变量法只适用于恰好识别的结构方程的估计工具变量法的参数估计量在小样本下是有偏的，但在大样

5、本下是渐进无偏的和一致的参数估计量与工具变量的次序无关，即：只要选择的工具变量组中的变量是相同的，只能得到一种参数估计量，而与变量的次序无关。三、间接最小二乘法 (ILS, Indirect Least Squares)方法思路联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量，不能直接采用OLS估计其参数。但是对于简化式方程，可以采用OLS直接估计其参数。间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式方程采用OLS估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。2. 适用范围 间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参 数估计，因为只有恰好识别的结构方程，才能

6、从参数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量。 每个简化式方程的随机误差项满足基本假定。因为只有这样才能得到简化式参数的最佳估计量。 先决变量之间不存在高度的多重共线性。3. 一般间接最小二乘法的估计过程 用OLS估计简化式模型，得到简化式参数估计量，代入该参数关系体系，先由第2组方程计算得到内生解释变量的参数，然后再代入第1组方程计算得到先决解释变量的参数。于是得到了结构方程的所有结构参数估计量。 4. 间接最小二乘法估计量的性质 对于简化式模型，应用OLS得到的参数估计量具有线性性、无偏性和有效性通过参数关系体系得到的结构参数估计量在小样本下是有偏的，大样本下是渐进无偏的，且是一致的。5.

7、 间接最小二乘法也是一种工具变量方法 ILS等价于一种工具变量方法：依次选择X作为（Y0,X0）的工具变量数学证明见计量经济学方法与应用（李子奈编著，清华大学出 版社，1992年3月）第126128页。估计结果为：四、二阶段最小二乘法 (2SLS, Two Stage Least Squares)2SLS是应用最多的单方程估计方法IV和ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识别的结构方程的估计。在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。为什么？2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。 2SLS的方法步骤第一

8、阶段：对内生解释变量的简化式方程使用OLS。得到： 用估计量代替结构方程中的内生解释变量，得到新的模型：第二阶段：对该模型应用OLS估计，得到的参数估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估计量。 例：设有结构式 模型第一阶段：写出对应的简化式模型应用OLS估计得到：第二阶段：代入被估计的结构方程应用OLS估计得到：3. 2SLS的使用条件待估计的结构式方程必须是可识别的；结构方程的随机误差项必须满足基本假定：零均值、同方差、无序列相关所有的先决变量与随机误差项不相关，且先决变量间不存在严重的多重共线性。样本容量n足够大，至少nk，以保证简化式参数估计量有意义。 4. 二阶段最小二乘法也是一种

9、工具变量方法 如果用Y0的估计量作为工具变量，按照工具变量方法的估计过程， 应该得到如下的结构参数估计量： 可以严格证明两组参数估计量是完全等价的，所以可以把2SLS也看成为一种工具变量方法。 参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下，是渐近无偏，且是一致的。 五、三种方法的等价性证明三种单方程估计方法得到的参数估计量 IV与ILS估计量的等价性在恰好识别情况下工具变量集合相同，只是次序不同。次序不同不影响正规方程组的解。2SLS与ILS估计量的等价性在恰好识别情况下ILS的工具变量是全体先决变量。2SLS的每个工具变量都是全体先决变量的线性组合。2SLS的正规方程组相当于ILS的正规方程组经

10、过一系列的初等变换的结果。线性代数方程组经过初等变换不影响方程组的解。六、简单宏观经济模型实例演示模型 消费方程是恰好识别的； 投资方程是过度识别的； 模型是可以识别的。数 据用狭义的工具变量法估计消费方程 用Gt作为Yt的工具变量估计结果显示用间接最小二乘法估计消费方程C简化式模型估计结果Y简化式模型估计结果用两阶段最小二乘法估计消费方程 比较上述消费方程的3种估计结果，证明这3种方法对于恰 好识别的结构方程是等价的。估计量的差别只是很小的计 算误差。 代替原消费方程中的Yt，应用OLS估计第2阶段估计结果用两阶段最小二乘法估计投资方程 投资方程是过度识别的结构方程，只能用2SLS估计。估计

11、过 程与上述2SLS估计消费方程的过程相同。得到投资方程的参 数估计量为： 至此，完成了该模型系统的估计。2SLS第2阶段估计结果用GMM估计投资方程投资方程是过度识别的结构方程，也可以用GMM估计。选择的工具 变量为c、G、CC1,得到投资方程的参数估计量为： 与2SLS结果比较，结构参数估计量变化不大，但残差平方和由24223582变为3832486，显著减少。 为什么？利用了更多的信息。GMM估计结果六、主分量法的应用方法的提出主分量方法本身并不是联立方程模型的估计方法，而是配合其它方法，例如2SLS使用于模型的估计过程之中。数学上的主分量方法早就成熟，Kloek和Mennes于1960

12、年提出将它用于计量经济学模型的估计。2SLS是一种普遍适用的联立方程模型的单方程估计方法，但是当它在实际模型估计中被应用时，立刻就会遇到不可逾越的困难。其第一阶段用OLS估计简化式方程，是难以实现的。为什么？方法的原理所谓主分量方法，就是用较少数目的新变量重新表示原模型中较多数目的先决变量的方法。例如，如果能够找到5个左右的新变量表示宏观经济模型中的30个先决变量，那么只需要15组以上的样本，就可以进行2SLS第一阶段的估计。对充当主分量的变量是有严格要求：一是它必须是先决变量的线性组合，二是它们之间必须是正交的。前一条是保证主分量对先决变量的代表性；后一条是保证主分量之间不出现共线性。主分量

13、的选取用两个主分量表示两个原变量 可以证明，a1、a2分别是XX的2个特征值对应的特征向量。用k个主分量表示k个原变量 同样可以证明，a1、a2、ak分别是XX的k个特征值对应的特征 向量。用f个主分量表示k个原变量 选择a1、a2、af分别是XX的f个最大特征值对应的特征向量。在2SLS中主分量的选取对于简化式方程 主分量法在ILS中的应用对于2SLS，直接利用主分量完成第一阶段的估计，得到内生解释变量的估计量。对于ILS，必须求得到简化式参数，进而计算结构式参数。首先估计Y=Z+，然后将Z=XA代入，得到Y=X 中的估计量。七、其它有限信息估计方法简介 (Limited Informati

14、on Estimation Methods)有限信息最大或然法(LIML，Limited Information Maximum Likelihood ) 以最大或然为准则、通过对简化式模型进行最大或然估计，以得到结构方程参数估计量的联立方程模型的单方程估计方法。由Anderson和Rubin于1949年提出，早于两阶段最小二乘法。适用于恰好识别和过度识别结构方程的估计。在该方法中，以下两个概念是重要的：一是这里的“有限信息”指的是每次估计只考虑一个结构方程的信息，而没有考虑模型系统中其它结构方程的信息；二是这里的“最大或然法”是针对结构方程中包含的内生变量的简化式模型的，即应用最大或然法求得

15、的是简化式参数估计量，而不是结构式参数估计量。具体参见教科书。有限信息最小方差比方法(LVR，Least Variable Ratio ) 估计某一个结构方程参数时，仍然只利用关于该方程的信息，没有利 用方程系统的信息，所以是一种有限信息估计方法。参见教科书。八、k级估计式k级估计式 本身不是一种估计方法，而是对上述几种方法得到的估计式的概括。对于联立方程模型中的第1个结构方程： k级估计式 为：显然，当k=0时，即为OLS估计式；k=1时，即为2SLS估计式；k等于有限信息估计方法中的时，即为有限信息估计式。k级估计式的性质 假设工具变量与随机误差项不相关，即且先决变量与随机误差项不相关，即那么，容易证明k级估计式是一致性估计式。工具变量与随机误差项不相关，对k是有限制的，必须有（证明见教 科书）： 这就是说，只有在2SLS或有限信息估计方法中，k级估计式是一致性估计式，而在OLS方法中，不具有一致性。