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1、第五章 假设检验与方差分析一、假设检验(Hypothesis Testing)问题的提出有许多实际问题，需要通过部分信息量，对某种 看法进行判定或估计。例1、某企业生产一种零件，以往的资料显示零 件平均长度为4cm，标准差为0.1cm。工艺改革后， 抽查100个零件发现其平均长度为3.94cm。问：工艺 改革后零件长度是否发生了显著变化？例2、某厂有一日共生产了200件产品，按国家标 准，次品率不得超过3%才能出厂。现从该批产品中 随机抽取10件，发现其中有2件次品，问这批产品能 否出厂。 第一节 假设检验的一般问题例1要判明工艺改革后零件平均 长度是否仍为4cm；例2要判明该批产品的次品率是
2、 否低于3%。进行这种判断 的信息来自 所抽取的样本这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判断 ：所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分 布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断 原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否 有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设 假设检验分两类：（1）参数假设检验；（2） 非参数检验或自由分布检验。1、假设检验采用的逻辑推理方法是反证法为了检某假设是否成立，先假定它正确，然后 根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合 理，从而判断是否接受原假设；2、判断结果合理与否，是基于“小概率事件不 易发生”这一原理的即在一次抽样中，小概率事件不可能发生。如 果在
3、原假设下发生了小概率事件，则认为原假设是 不合理的；反之，小概率事件没有发生，则认为原 假设是合理的。二、假设检验的基本思想因此，置信度大小的不同，有可能做出不同的 判断。3、假设检验是基于样本资料来推断总体特征 的，而这种推断是在一定概率置信度下进行的， 而非严格的逻辑证明。在例1中，要判断工艺改革后零件平均长度是 否仍为4cm，可先假设仍为4cm，根据样本平均数的抽样 分布理论，则样本点应以较大的可能性（置信 度）落在以4为中心的某一范围内，或者说在给定置信度1-下(比如99%）：其中：0为所要检验的假设（这里为4cm）为总体标准差（这里为0.1cm）N为样本容量（这里为100）Z/2为置
4、信度1-下，标准正态分布对应的右尾 临界值如果取置信度为0.99，则显著性水平=0.01，对 应的临界值为Z/2 =2.58换言之，如果原假设为真，则样本测算值将以 99%的可能性落在-2.58，2.58区间内。通过一组（实际）样本计算得：说明小概率事件（标准化后的样本均值只有 1%的可能性落在-2.58，2.58区间外）发生了。这是不合理的，应拒绝原假设。1、提出原假设(null hypothesis)和备择假设 (alternative hypothesis)原假设为正待检验的假设：H0；备择假设为可供选择的假设：H1一般地，假设有三种形式：（1）双侧检验：H0 : 0; H1 :0（2）
5、左侧检验：H0 : 0; H1 :0 或 H0 : 0 三、假设检验的步骤2、选择适当的统计量，并确定其分布形式统计量是根据所涉及的问题而定的，如总体均 值、比例（率）可选取正态分布的Z统计量等。3、选择显著性水平或置信度，确定临界值显著性水平为原假设为真时，样本点落在临界 值外的概率（即抽样结果远离中心点的概率，它 为小概率），也是原假设为真时，拒绝原假设所 冒的风险。临界值将样本点所落区域分为拒绝域与接受 域，临界值“外”为拒绝域，“内”为接受域。通过样本计算统计量的具体值，与临界值比较 ，根据落入拒绝域或接受域的情况来拒绝或接受 原假设。4、作出结论由于假设检验是根据有限的样本信息来推断
6、总体 特征，由样本的随机性可能致使判断出错。（一）第一类错误当原假设为真时，而拒绝原假设所犯的错误，称 为第I类错误或拒真错误。易知犯第I类错误的概率就 是显著性水平:四、假设检验中的两类错误（二）第二类错误当原假设为假时，而接受原假设所犯的错误， 称为第II类错误或采伪错误。犯第II类错误的概率 常用表示:假设检验中的四种可能情况 H0为真 H0不真接受H0 Good Bad/Type II error拒绝H0 Bad/Type I error Good1、犯第一类错误与犯第二类错误的概率存在此消彼长的关系;2、若要同时减少 与 ，须增大样本容量n。3、通常的作法是，取显著性水平较小，即控制
7、犯第一 类错误的概率在较小的范围内；4、在犯第二类错误的概率不好控制时，将“接受原假 设”更倾向于说成“不拒绝原假设”。注意：一、总体均值的假设检验（一）总体方差已知，正态总体，样本大小不限如果总体XN(,2)，在方差已知的情况下，对总体均 值进行假设检验。由于第二节 总体均值、比例和方差的假设检验 注意：如果总体方差未知，且总体分布未知，但如果是大样 本（n=30），仍可通过 Z 统计量进行检验，只不过总体 方差需用样本方差 s 替代。因此，可通过构造Z统计量来进行假设检验：例3：根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正 态分布N(1020, 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽
8、取16 件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命 是否有显著提高（显著性水平：5%）？由=0.05，查表得临界值：Z=Z 0.05=1.645提出假设：H0：=1020 ，H1： 1020 检验统计量：比较：计算的Z=2.4 Z =1.645判断：拒绝H0 ，接受H1 ，即这批产品的寿命确有提高 。（二）总体方差未知，正态总体，小样本注：如果总体分布也未知，则没有适当的统计量进 行假设检验，唯一的解决办法是增大样本，以使 样本均值趋向于正态分布，从而再采用Z统计量。这时只能用 t 统计量进行假设检验：二、总体比例的假设检验大样本下，样本比例趋向于正态分布，因此 可通过构造Z统计
9、量的方法进行假设检验：注：1、如果总体比例P未知，可用样本比例p替 代。2、Z统计量只适合大样本情况下的总体比 例检验。只讨论限于正态总体方差的检验。设所要检验的原假设为：H0：三、总体方差的假设检验因此，可构造2 统计量进行总体方差 的假设检验。当H0成立时，S2/02 接近于1，2的 值在一个适当的范围内，当H0不成立时，S2/02远离1，2的值 相当大或相当小。由于样本方差 S2是总体方差2的无偏估计量，可通过它们的 对比来构造检验统计量。可以证明，若H0为真，则在例2中，由于所抽样本只为10，为小样本，因 此无法构造Z统 计量进行总体比例的假设检验。但可以通过概率论的知识给予初步的判断
10、：则在任抽10件产品，至少有2件次品的概率为：在任抽10件产品中有一件次品的概率为：在任抽10件产品中无次品的概率为：说明：1、如果该批产品满足不超过3%的次品率，则 从200件中随机抽取10件，至少有2件以上次品的 概率不超过4%，这是一个很小的概率。2、这一小概率事件在一次抽样中出现，因此 原假设这批产品的次品率不超过3%的判断很可能 有错误，而应拒绝。3、因此可以认为这批产品的次品率大于3%， 所以该批产品不能出厂。第三节 假设检验中的其他问题一、区间估计与假设检验的关系1、区别：区间估计是依据样本资料估计总体的未知参数的 可能范围；假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先 验假设是否
11、成立。区间估计通常求得的是以样本为中心的双侧置 信区间；假设检验不仅有双侧检验也有单侧检验。2、联系都是根据样本信息对总体参数进行推断；都是以抽样分布为理论依据；都是建立在概率基础上的推断，推断结果都有 风险；对同一问题的参数进行推断，使用同一样本、 同一统计量、同一分布，因而二者可以相互转换。区间估计立足于大概率，通常以较大的把握程度（ 可信度）1- 去估计总体参数的置信区间；假设检验立足于小概率，通常是给定很小的显著性 水平 去检验对总体参数的先验假设是否成立。二、假设检验中的P值假设检验的结论是在给定的显著性水平下作出 的。因此，在不同的显著性水平下，对同一问题 所下的结论可能完全相反（
12、下图）。红点：在0.1的显著性水平下 ，拒绝原假设； 在0.05的显著性水平 下，接受原假设。例3：根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正 态分布N(1020, 1002)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16 件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命 是否有显著提高（显著性水平：5%）？由=0.05，查表得临界值：Z=Z 0.05=1.645提出假设：H0：=1020 ，H1： 1020 检验统计量：比较：计算的Z=2.4 Z =1.645判断：拒绝H0 ，接受H1 ，即这批产品的寿命确有提高 。在例3中，检验统计量的值 Z=2.4， 由于Z服从正态分布N(0,1)，
13、则可求得统计量大于2.4的概率：P(Z2.4)=0.008假设检验P值的提出：通常：把这种“拒绝原假设 的最小显著性水平”称为假 设检验的P值。因此，若选定显著性水平 0.008，则Z=2.4Z ，Z值落入拒绝域若选定显著性水平 P ，则在显著性水平 下拒绝原假设；如果3.24 ，拒绝原假设，从而得出： 颜色对该公司饮料销售有显 著影响。（三）均值的F检验如果同时需考虑两个因素A与B的影响，则可进行 双因素方差分析。双因素方差分析中需假设两个因素不交互作用，即 各自独立地发挥影响作用。（一）数据结构二、双因素方差分析(二)离差平方和的分解其中:可以证明:于是表4.3 双因素方差分析表 误差来源 离差 自由度 均方差 F值平方和A因素 SSA r-1 MSA=SSA/(r-1） FA=MSA/MSEB因素 SSB k-1 MSB=SSB/(k-1) FB=MSB/MSE随机误差 SSE (r-1)(k-1) MSE=SSE/(r-1)(k-1) 合计 SST n-1 SST/(n-1)在饮料销售例中，如果我们还关心不同超市是否对销售有 影响，这时可将5个不同的超市作为因素B考虑，它有5个水 平。双因素分析结果如下：
