[2017年整理]弹性力学第三章

《[2017年整理]弹性力学第三章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[2017年整理]弹性力学第三章（79页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章第三章 平面平面问题问题问题问题 的直角坐的直角坐标标标标解答解答要点 用逆解法、半逆解法求解平面弹性 力学问题。3-1 逆解法与半逆解法 多项项式解答3-2 矩形梁的纯纯弯曲3-4 简简支梁受均布载载荷3-5 楔形体受重力和液体压压力主 要 内 容3-3 位移分量的求出（1） 逆解法 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2） 主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待 定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对 应什么样的边界面力问题

2、，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求 解什么问题。 （2） 半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量 的某种函数形式 ；（2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求 出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和 位移单值条件。3-1逆解法与半逆解法 多项项式解答 一、逆解法与半逆解法二、 多项项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。逆解法其中： a、b、c 为待定系数。检验(x,y) 是否满足双调和方程：显然(x,y) 满足双调和方

3、程，因而可作为应力函数。（1）1. 一次多项项式（2）（3） 对应的应力分量：若体力：fx= fy =0，则有：2. 二次多项项式（1）其中： a、b、c 为待定系数。(假定：fx= fy= 0 ; a 0 , b 0, c 0)检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2） (可作为应力函数 )（3） 由式（2-26）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。xy试求图示板的应力函数。例：xy3. 三次多项项式（1）其中: a、b、c 、d 为待

4、定系数。检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数 )(假定：fx= fy = 0)（3） 由式（2-26）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。讨论：可算得：图示梁对应的边界条件：可见： 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。弹性体为矩形截面梁xy1lo总结：（多项式应力函数 的性质） （1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力

5、无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。（3） 3-2矩形梁的纯纯弯曲xy1loMM现讨论现讨论 梁的两端受相反的力偶 而弯曲，体力不计计。取单单位宽宽度 的梁研究，每单单位宽宽度上力偶的 矩为为M。M 的量纲为纲为LMT-2。可选择 为应力函数来求解。 （1）其中: d 为待定系数。检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数 )(fx= fy = 0)（3）由式（2-26）计算应力分量：（4）检验边界条件： 主要边界条件：满足次要边界条件： X方向：力矩y方向：（5）应力分量xy1llMM可见：此结果与材力中结果相 同，

6、说明材力中纯弯曲梁的应 力结果是正确的。xy1llMM说明： (1)组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。 (2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较 大，离端部较远处误差较小。(3)当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。3-3 位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？ xyl1hMM1. 形变变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量(a)将式（a）代入得：(b) （2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)（2）位移分量(c)将式（c）前两式

7、积分，得：(d)将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：式中 ：为待定函数。整理得：（仅为 x 的函数） （仅为 y 的函数）要使上式成立，须有(e)式中：为常数。 积分上式，得将上式代入式（d），得(f)（1）分析横截面受的变形(f)讨论：式中：u0、v0、 由位移边界条件确定。（2）位移分量xyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。横截面保持平面 材力中“平面保持平面”的假设成立。（2）分析纵向纤维的变形说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲 率相同。即 材料力学中挠曲线近似微分 方程2. 位移边边界条件的利用（1）两端简支(f

8、)其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程： 与材力中结果相同（2）悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动） 代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果 相同说明： （1） 求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2） 若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。按应力函数求解平面问题的方法：（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量 的某种函数形式

9、；（2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求 出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法位移分量的求解 ： （1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。3-4 简简支梁受均布载载荷 要点 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2 h/2q 1. 应应力函数的确定(1 )分析： 主要由弯矩引起； 主要由剪力引起；由 q 引起（挤压应力）。又 q =常数，图示

10、坐标系和几何对称， 不随 x 变化。推得：(2 )由应力分量表达式确定应力函数 的形式：积分得：(a ) (b ) 任意的待定函数xyllqlql1yzh/2 h/2q(a ) (b ) 任意的待定函数(3 )由 确定：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2 h/2q方程的特点：关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。 由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c )此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：积分得：(d )(c)(d)xyllqlql1yzh/2 h/2q (a ) (b )将(c) (d) 代入 (b) ，

11、有(e )此处略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。(e )2. 应应力分量的确定(f) (g )(h )3. 对对称条件与边边界条件的应应用(f) (g )(h )3. 对对称条件与边边界条件的应应用（1）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2 h/2q由 q 对称、几何对称： x 的偶函数 x 的奇函数由此得：要使上式对任意的 y 成立，须有：xyllqlql1yzh/2 h/2q（2）边界条件的应用：(a) 上下边界（主要边界）：由此解得：代入应力公式xyllqlql1yzh/2 h/2q( i )( j )( k )(b) 左右边界（次要边界）：（由于对称，只考

12、虑右边界即可。） 难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力 FN = 0；弯矩 M = 0；剪力 FS= ql；( i )( j )( k )可见，这一条件自动满足。xyllqlql1yzh/2 h/2q(p)截面上的应力分布：4. 与材料力学结结果比较较xyllqlql1yzh/2 h/2q(p)4. 与材料力学结结果比较较材力中几个参数： 截面宽：b=1 ,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式 ( p ) ，有（3-6）xyllqlql1yzh/2 h/2q（3-6）比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当 h / l1，该 项误差很小，可略；当 h /

13、 l较大时 ，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力 中不考虑。（3）与材力中相同。注意： 按式（3-6），梁的左右 边界存在水平面力：说明式（3-6）在两端不 适用。解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规 律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形 式。由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力函数 的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确 定 中的待定函数形式。由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应 力分量 。由边界条件确定 中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学

14、平面问题的基本步骤：【例题-习题3-11】挡水墙的密度为 ，厚度 为b,如图,水的密度为 ，试求 应力分量。yox解：用半逆解法求解。1. 由于水压力沿x方向线 性变化,可假设在区域 内沿x 向 也应是一 次式变化，即 yox2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式3. 由相容方程求应力函数。代入 得要使上式在任意的x处都成立，必须 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2- 26) ,注意体力 ，求得应力分量为5. 考察边界条件：主要边界上，有yoxyox由上式得到由此得又有代入A,得在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：yox代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：由式(g),(h)解出例：图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为 h ，受 有三角