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1、 一、比较法(1)作差比较法下面给出证明 练习练习 求证： 求证：a a2 2b b2 2 ababa ab b1. 1.归纳领悟比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是： (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论 其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负(2)作商比较法练习:DAABQPM7. 7. 已知已知a a1 1 a a2 2，b b1 1 b b2 2，则则P Pa a1 1b b1 1a a2 2b b2 2，Q Qa a1 1b b2 2a a2 2b b1 1的大小关系是的大小关系是( ( ) )
2、 A. A. P P Q Q B. B. P P Q Qn n答案：答案：C Cn n解析：解析：( (a a1 1b b1 1a a2 2b b2 2) )( (a a1 1b b2 2a a2 2b b1 1) )( (b b1 1b b2 2) ) ( (a a1 1a a2 2) )n na a1 1 a a2 2，b b1 1 b b2 2n n( (b b1 1b b2 2) ) ( (a a1 1a a2 2) ) 0 0n na a1 1b b1 1a a2 2b b2 2 a a1 1b b2 2a a2 2b b1 1. .二、综合法与分析法(1)综合法在不等式的证明中,我
3、们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系必必会技巧会技巧 1. 1. 利用基本不等式求最利用基本不等式求最值时值时 ，一定要注意，一定要注意“ “ 一正二定三相等一正二定三相等” ”，同，同时还时还 要注意一些要注意一些变变 形技巧，形技巧，积积极极创创造条件利用基本不等式造条件利用基本不等式 2. 2. 常用的初等常用的初等变变形有均匀裂形有均匀裂项项、增减、增减项项、配、配
4、 系数等利用基本不等式系数等利用基本不等式还还可以可以证证明条件明条件 不等式，关不等式，关键键是恰当地利用条件，构造基是恰当地利用条件，构造基 本不等式所需要的形式本不等式所需要的形式答案：答案：MM N N 审题视点审题视点 (1)(1)根据式子的特点，利用公式进根据式子的特点，利用公式进 行转化，根据集合相等确定行转化，根据集合相等确定m m的值；的值；(2)(2)结合结合 已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西 不等式的形式不等式的形式n n答案：答案：C C( (1)1)若若x x2 2y y4 4z z1 1，则，则x x2 2y y2 2z
5、z2 2的最小值是的最小值是 _ (2)(2)x x，y yR R，且，且x x2 2y y2 21010，则，则2 2x xy y的取值范的取值范 围为围为_(2)分析法从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公 理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和 证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系用分析法证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有只需证明命题B2为真,从而有只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.1.分析法要注意叙述的形式
6、：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件.2.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用.例2：若a、b、c是不全相等得正数求证：lg lg lg lga+lgb+lgc 要证 lg lg lg lga+lgb+lgc 只需证 lg lgabc只需证 abca、b、c是正数0，0，0a、b、c不全相等 abc lg lg lg lga+lgb+lgc 证明:练习1.求证：证明：不等式显然成立原不等式即证若ac+bd0,练习2 ：已知C1，求证：证明：C
7、1 C+10 C-10即证-10 而此式显然成立成立原不等式CCC211+2分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”三、反证法与放缩法(1)反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难
8、的命题常常用反证法证明.反证法的思维方法：正难则反反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成- -立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - -论正确 归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；(5)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.例2、设设0 又0 1/4, (1
9、 b)c1/4, (1 c)a1/4,例3：用反证法证明：如果ab0，那么(2)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确 或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达 到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有 较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、 缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较 强的一种证法.例如： 要证ba,只须寻找b2使bb2且b2a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。答案：答案：MM 2 时时，求证证：证证：n
10、2 n 2时时, 补充例题 :n n3 3点必须注意点必须注意n n1. 1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分作差比较法适用的主要题型是多项式、分 式、对数式、三角式，作商比较法适用的主式、对数式、三角式，作商比较法适用的主 要题型是高次幂乘积结构要题型是高次幂乘积结构n n2. 2. 放缩法的依据是不等式的传递性，运用放放缩法的依据是不等式的传递性，运用放 缩法证明不等式时，要注意放缩适度，缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“ “放放” ” 和和“ “缩缩” ”的量的大小是由题目分析，多次尝试的量的大小是由题目分析，多次尝试 得出放得过大或过小都不能达到证明目的得出放得过大或过小都不能达到证明目的 n n3. 3. 利用柯西不等式求最值，实质上就是利用利用柯西不等式求最值，实质上就是利用 柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能 不成立，因此，要切记检验等号成立的条件不成立，因此，要切记检验等号成立的条件. .
