MATLAB 矩阵及其运算

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1、第2章 MATLAB矩阵及其运算2.1 变量和数据操作2.2 MATLAB矩阵2.3 MATLAB运算2.4 矩阵分析2.5 矩阵的超越函数2.6 字符串2.7 结构数据和单元数据2.8 稀疏矩阵2.1 变量和数据操作2.1.1 变量与赋值 1变量命名1）在MATLAB 7.0中，变量名是以字 母开头，后接字母、数字或下划线的字符 序列，最多63个字符。2）在MATLAB中，变量名区分字母的 大小写。3）注意：MATLAB提供的标准函数名 及命令名必须用小写字母！2赋值语句(1) 变量=表达式 (2) 表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连 接起来的式子，其结果是一个矩阵。例2-1 计算表达

2、式 的值，并显示计 算结果。在MATLAB命令窗口输入命令： x=1+2i; y=3-sqrt(17); z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y)其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量。pi代表圆周率i代表虚数单位 输出结果是： z =-0.3488 + 0.3286i2.1.2 预定义变量在MATLAB工作空间中，还驻留几个 由系统本身定义的变量。例如，用pi表示 圆周率的近似值，用i，j表示虚数单位 。预定义变量有特定的含义，在使用时 ，应尽量避免对这些变量重新赋值。2.1.3 内存变量的管理 1内存变量的删除与修改MATLAB工作空间窗口专门用

3、于内存 变量的管理。在工作空间窗口中可以显示 所有内存变量的属性。当选中某些变量后 ，再单击Delete按钮，就能删除这些变量 。当选中某些变量后，再单击Open按钮 ，将进入变量编辑器。通过变量编辑器可 以直接观察变量中的具体元素，也可修改 变量中的具体元素。clear命令用于删除MATLAB工作空间 中的变量。who和whos用于显示在MATLAB工作 空间中已经驻留的变量名清单。who：只显示出驻留变量的名称whos：在给出变量名的同时，还给出它们 的大小、所占字节数及数据类型等信息。2内存变量文件利用MAT文件可以把当前MATLAB工 作空间中的一些有用变量长久地保留下来 ，扩展名是.

4、mat。MAT文件的生成和装入由save和load 命令来完成。常用格式为： save 文件名 变量名表 -append-ascii load 文件名 变量名表 -ascii其中，文件名可以带路径，但不需带 扩展名.mat。变量名表中的变量个数不限，只要内 存或文件中存在即可，变量名之间以空格 分隔。当变量名表省略时，保存或装入全 部变量。-ascii选项使文件以ASCII格式处 理，省略该选项时文件将以二进制格式处 理。save命令中的-append选项控制将变 量追加到MAT文件中。2.1.4 MATLAB常用数学函数MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变 量规定为矩阵变量，运算法则是

5、将函数逐项作用 于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变 量同维数的矩阵。函数使用说明： (1) 三角函数以弧度为单位计算。 (2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字 符串的ASCII码值。 (3) 用于取整的函数有fix、floor、ceil、round， 要注意它们的区别。 (4) rem与mod函数的区别。rem(x,y)和mod(x,y)要 求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。2.1.5 数据的输出格式MATLAB用十进制数表示一个常数，具 体可采用日常记数法和科学记数法两种表 示方法。在一般情况下，MATLAB内部每一个数 据元素都是用双精度数来表示和存储的。 数据输

6、出时用户可以用format命令设置 或改变数据输出格式。format命令的格式为：format 格式符其中格式符决定数据的输出格式2.2 MATLAB矩阵2.2.1 矩阵的建立 1直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接 输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵 的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序 输入各元素，同一行的各元素之间用空格 或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分 隔。2利用M文件建立矩阵对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为 它专门建立一个M文件。下面通过一个简 单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。例2-2 利用M文件建立MYMAT矩阵。(1) 启动有关编辑程序或MATLAB文本编 辑

7、器，并输入待建矩阵；(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文 件名为mymatrix.m)；(3) 在MATLAB命令窗口中输入mymatrix ，即运行该M文件，可供以后使用。3利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式 是：e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行 向量。其调用格式为：linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素 ，n是元素总数。 显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。 4建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或

8、向量建立起来 。2.2.2 矩阵的拆分 1矩阵元素的引用方式 1）通过下标引用矩阵的元素，例如A(3,2)=2002）采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的 序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中 ，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推 。例如 A=1,2,3;4,5,6; A(3) ans =2 显然，序号(Index)与下标(Subscript )是一一对应的，以 mn矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其 相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。有关求矩阵大小的函数：1）size(A): 返回两个元素的向量，分别

9、是矩阵A的行数和列数；2）length(A): 给出行数和列数中的较大 者，即length(A)=max(size(A);3）ndims(A): 给出A的维数。2利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行的全部元素 ；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元 素；A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并 在第kk+m列中的所有元素。此外，还可利用一般向量和end运算符来表示 矩阵下标，从而获得子矩阵。end表

10、示某一维的 末尾元素下标。3 利用空矩阵删除矩阵的元素在MATLAB中，定义为空矩阵。给 变量X赋空矩阵的语句为X=。注意， X=与clear X不同，clear是将X从工作空 间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中 ，只是维数为0。4 改变矩阵的形状在MATLAB中，reshape(A,m,n)函数 在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵 A重新排列在mn的二维矩阵。2.2.3 特殊矩阵 1通用的特殊矩阵 常用的产生通用特殊矩阵的函数有： zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。 ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。 eye：产生单位矩阵。 rand：产生01间均匀分布的随机矩阵。 randn：产生均

11、值为0，方差为1的标准正态 分布随机矩阵。例2-3 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵。 (1) 建立一个33零矩阵。 zeros(3)(2) 建立一个32零矩阵。 zeros(3,2)(3) 设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一 个与矩阵A同样大小零矩阵。 A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵A zeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小的 零矩阵例2-4 建立随机矩阵。 (1) 在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵 。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随 机矩阵。命令如下： x=20+(50-20)*rand(5)

12、 y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)2用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每 列及两条对角线上的元素和都相等。对于 n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整 数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的 函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔 方阵。例2-5 将101125等25个数填入一个5行5列的 表格中，使其每行每列及对角线的和均为 565。M=100+magic(5)(2) 范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒 数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列 与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生

13、成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V 为基础向量的范得蒙矩阵。例如：A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩阵。(3) 希尔伯特矩阵在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函 数是hilb(n)。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特 矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n 阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。例2-6 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。n 命令如下： format rat %以有理形式输出nH=hilb(4)nH=invhilb(4)nformat short(4) 托普利兹矩阵托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行和第 一列外，其他每

14、个元素都与左上角的元素 相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)它生成一个以x为第一列，y为第一行的 托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者 不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对 称的托普利兹矩阵。例如：T=toeplitz(1:6)(5) 伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是 compan(p)，其中p是一个多项式的系数 向量，高次幂系数排在前，低次幂排在 后。n 例如，为了求多项式的x3-7x+6的 伴随矩阵，可使用命令：np=1,0,-7,6;ncompan(p)(6) 帕斯卡矩阵我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数 随n的增大组成一个三角形表，称

15、为杨辉 三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为 帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一 个n阶帕斯卡矩阵。例2-7 求(x+y)5的展开式。在MATLAB命令窗口，输入命令：pascal(6) 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展 开式的系数。2.3 MATLAB运算 2.3.1算术运算1基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：(加)、 (减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方) 。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个 数据的算术运算只是一种特例。(1) 矩阵加减运算假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B 和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是 ：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行 矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相 加减；如果A与B的维数不相同，则MATLAB 将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维 数不匹配。 A=1 2 3;4 5 6; B=6 5 4;3 2 1; A+Bans =7 7 77 7 7A=1 2 3;4 5 6,B=1 2;3 4,A+B=?一个标量也可以和其他不同 维数的矩阵进行加减运算. x=2 -1 0;3 2 -4; y=x-1y =1 -2 -12 1 -5(2) 矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B，若A为mn矩阵 ，B为np矩阵，则C=A*B为mp矩阵。也就是常说的矩阵相乘应满足：A列B行相等