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1、 最优控制最优控制讲授提纲*配合教材： 最优控制理论与应用吴受章编著 机械工业出版社 2008年1使用说明u讲课开始时，学生需人手一册教材，已可开讲。讲授 提纲用幻灯片放映，仅起画龙点睛作用（若无幻灯片 放映，可用板书代之）。关键是：任课教师是否习惯 此种讲课方式。实践表明：学生的收效却更好。 u任课教师都有自己的习惯、风格，都喜爱自己的讲稿 ，因此，只适宜于列出讲授提纲供参考，逐次的讲稿 宜自己用Power Point编写。此时，教材和讲授提纲可 供参照，并亦可各自按需补充些内容。此外，讲课进 度的安排也因人而异，有40学时全讲课的，有压縮课 时并添加大作业的，有写读文献的报告的，故不宜编
2、写划一的讲稿（写了也是白写）。2绪论n 从经典的反馈控制到最优控制l 从特点看控制器设计经历的“改朝换代”3特 点 经典反馈控制 最优控制u上世纪40-50年代起 的炮火控制 uSISO，输入输出描写u低阶传递函数 u应无未建模动态 u手算，作图，憑经验 u不计控制能耗 u模拟器件实现 u军工及民用工业u上世纪60年代起延伸 至今的航空航天 uMIMO，内部描写u低阶状态方程 u应无未建模动态 u计算机，优化，算法 u考虑控制能耗 u数字器件实现 u航空航天工业4第第1 1章章 变分法变分法n n引言引言 l l变分问题求解的两条路变分问题求解的两条路 l l本章的重要性本章的重要性5n n
3、泛函泛函l l 定义定义 1 1- -1 1（泛函）（泛函）图图 1-11-1 弧长弧长 ，目标泛函，目标泛函 l l 定义定义 1 1- -2 2（函数空间中的距离）（函数空间中的距离）图图 1-2 1-2 曲线间的距离曲线间的距离 l l 定义定义 1 1- -3 3（n n级级 邻区和泛函的局部极值）邻区和泛函的局部极值）图图 1-31-3 泛函求局部极值泛函求局部极值 l l 定义定义 1 1- -4 4（泛函的全局极值）（泛函的全局极值）6n n 变分的推演变分的推演 l l 泛函求极值泛函求极值从式从式（1-11-1）推导推导式式（1-61-6）的过程：的过程： 写出目标值的差，式
4、写出目标值的差，式（1-21-2） 用导数中值定理，得式用导数中值定理，得式（1-51-5） 式式（1-51-5）的第二项为高阶无穷小的第二项为高阶无穷小 改用变分记号，式改用变分记号，式（1-61-6）7（续）变分的推演（续）变分的推演l l 式式（1-11-1）的被积函数用的被积函数用 TaylorTaylor 级数级数展开后的线性主部，即式展开后的线性主部，即式（1-61-6）第一第一项的被积函数项的被积函数 l l 定义定义 1 1-5-5（函数的一次变分）（函数的一次变分）式式（1-71-7），式，式（1-81-8） l l 定义定义 1 1-6-6（泛函的一次变分）（泛函的一次变分
5、）式式（1-91-9）8（续）变分的推演（续）变分的推演l l 定义定义 1 1-7-7（泛函的二次变分）（泛函的二次变分）式式（1-101-10）泛函的高次变分，式泛函的高次变分，式（1-111-11） l l 泛函极值存在的必要条件，式泛函极值存在的必要条件，式（1-121-12） l l 泛函局部极大值存在的充分条件，式泛函局部极大值存在的充分条件，式（1-131-13） l l 泛函局部极小值存在的充分条件，式泛函局部极小值存在的充分条件，式（1-141-14）9n n EulerEuler方程和横截条件方程和横截条件l l 泛函求极值泛函求极值从式从式（1-161-16）推导式推导式
6、（1-211-21）的过程：的过程： 用分部积分得式用分部积分得式（1-181-18） 用推论用推论1 1- -1 1得式得式（1-191-19）及式及式（1-201-20） 用推论用推论1 1- -2 2得式得式（1-211-21） l l TPBVPTPBVP（两点（两点边值问题边值问题 ）例例1-31-310n n 向量情况向量情况l l 泛函求极值泛函求极值从式从式（1-251-25）推导式推导式（1-321-32）的过程：的过程： 成对应用式成对应用式（1-181-18），），得式得式（1-261-26） 分类及合并，得式分类及合并，得式（1-21-27 7） 仿式仿式（1-211-
7、21）及式及式（1-231-23），），得式得式（1-301-30）及式及式（1-311-31） 向量形式，式向量形式，式（1-321-32）11n n 有约束的情况有约束的情况 l l 函数的函数的约约束束优优化与化与LagrangeLagrange乘子乘子式式（1-331-33） 化化为为无无约约束束优优化，式化，式（1-341-34） 两个默两个默认认的特点的特点 l l 函数的向量函数的向量约约束束优优化与化与LagrangeLagrange乘子向量乘子向量式式（1-351-35）12（续）有约束的情况（续）有约束的情况 化化为为无无约约束束优优化，化， 式式（1-371-37） 两个
8、默两个默认认的特点的特点 l l 泛函的泛函的约约束束优优化化 约约束方程束方程变变量多、方程少量多、方程少 化化为为无无约约束束优优化化 l l 定理定理1-11-1的叙述：的叙述：式式（1-391-39）与式与式（1-401-40）等价等价13（续）有约束的情况（续）有约束的情况 l l 定理定理1-11-1的的证证明明过过程：程： 为为何要分两步走何要分两步走 第第1 1步步证证明明式式（1-401-40）改写改写为为式式（1-421-42） 泛函极泛函极值值存在的必要条件，式存在的必要条件，式（1-431-43） 结结合合约约束方程求解，束方程求解，结结果果满满足足约约束方程，束方程，
9、式式（1-401-40）的解即的解即为为式式（1-391-39）的解）的解 第第2 2步步证证明明14（续）有约束的情况续）有约束的情况 式式（1-391-39）的构成：式的构成：式（1-251-25）及及约约束方程束方程 式式（1-251-25）所示泛函极所示泛函极值值存在的必要条件，存在的必要条件，式式（1-441-44） 对约对约 束方程取一次束方程取一次变变分，式分，式（1-451-45）即式（即式（1 1 -46-46） 构造式构造式（1-491-49） 式式（1-441-44）的第一式与式的第一式与式（1-491-49）合成，得式合成，得式 （1-511-51） 用用约约束方程和式
10、束方程和式（1-511-51），），构造式构造式（1-521-52）15（续）有约束的情况（续）有约束的情况 式式（1-531-53）与式）与式（1-521-52）的差的差别别，得式，得式（1-551-55）及式及式（1-561-56），式），式（1-391-39）的的解即解即为为式式（1-401-40）的解的解 两步两步证证明的完成，才明的完成，才说说明式明式（1-391-39）与与式式（1-401-40）完全等价完全等价 l l定理定理1-11-1推广到微分系推广到微分系统统16n n 端点可端点可变变的情况的情况l l 两端可两端可变变可化可化为为一端可一端可变变，终终端可端可变变 l
11、l 目目标值标值 的差推演得式的差推演得式（1-611-61）利用利用积积分中分中值值定理及式定理及式（1-61-6），），式式（1-181-18）由式由式（1-611-61）得式得式（1-621-62） l l 图图1-41-4与式与式（1-631-63） l l 从式从式（1-641-64）得式得式（1-651-65） l l 推广到式推广到式（1-671-67）17n n 变变分的另一种定分的另一种定义义l l 定定义义1-81-8（函数的一次（函数的一次变变分）分） l l 定定义义1-91-9（泛函的一次（泛函的一次变变分）分）式式（1-691-69） l l 对对 求导求导, ,得
12、得J J的的一次一次变变分，式分，式（1-711-71） l l 式（式（1-721-72）同式）同式（1-91-9）18n n 变变分与分与FrchetFrchet微分微分l l定定义义1-101-10（FrchetFrchet微分）微分）线线性逼近的性逼近的误误差差 ，式式（1-741-74）对对照照图图1-51-5及式（及式（1-751-75）规规定了定了线线性逼近方式性逼近方式 l lFrchetFrchet微分，式微分，式（1-761-76） l l计计算算FrchetFrchet微分的方法，式微分的方法，式（1-771-77） l l泛函的一次泛函的一次变变分即分即FrchetFr
13、chet微分，微分，对对照照式式（1-781-78），），式式（1-791-79）19n n 小小结结l l 泛函求极泛函求极值值变变分分常微分方程常微分方程的的TPBVPTPBVP l l 本章本章仅为寻仅为寻 求求极极值值曲曲线线，并未涉，并未涉及及寻寻求求极极值值曲面曲面 l l 变变分法的分法的现现代代进进展展为变为变 分原理（分原理（不是第不是第5 5章的最大章的最大值值原理）原理）20第第2 2章章 连续连续 系系统统最最优优控制控制n n引言引言 l l了解受控了解受控对对象象建模建模提出概念性目提出概念性目标标优优化化问题问题 提法提法式式（2-12-1）Bolza Bolza
14、问题问题 ，LagrangeLagrange问题问题 ，MayerMayer问题问题 l l折衷折衷优优化化 l l如何套用第如何套用第1 1章公式章公式21n n 时间端点固定的情况时间端点固定的情况 l l 式式（2-22-2）的背景的背景 l l 化化为为无无约约束束优优化化问题问题式式（2-32-3），），HamiltonHamilton函数函数 l l 式式（2-32-3）取一次取一次变变分，分两部分分，分两部分式式（2-72-7）由式（由式（2-42-4）及式）及式（2-62-6）组组成成 l l 横截条件，伴随方程，耦合方程，状横截条件，伴随方程，耦合方程，状态态方方程，式程，式（2-102-10）22（续）（续）时间端点固定的情况时间端点固定的情况 l l沿最沿最优轨线优轨线 H H为为常量的条件常量的条件 l l横截条件三种情况横截条件三种情况 l lTPBVPTPBVP l l例例2-12-1，例，例2-22-2，例，例2-32-3，例例2-42-423n n 有终端函数约束的情况有终端函数约束的情况l l式式（2-602-60）的背景的背景 l l化化为为无无约约束束优优化化问题问题 ， 式式（2-612-61） l l式式（2-612-61）取一次取一次变变分，式（分，式（2-632-
