结构有限元程序设计相关问题

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1、结构有限元程序设计相关问题有限元结构分析程序理论及模型化1 有限单元法 2 弹性理论的基本公式 3 假定位移场的有限元公式推导 4 结构模型化及程序模块划分 5 程序的单元分析模型 6 约束与运动分析的模型化 7 结构总刚度阵 8 荷载模式与荷载工况 9 数据管理与工程集成系统问题的求解模型描述 连续体模型：弹性理论是一种基本的模型，采用 偏微分方程精确而简洁，但由于荷载和结构的边 界条件的复杂性，使得偏微分方程的解析求解成 为不可能，工程师无法得到实际应用。 离散化模型：求近似解往往应用有限自由度的结 构来代替连续体。这对于计算机是十分适合，对 于求解有限多未知数的题目非常有效，有限元在 计

2、算工具强有力的支持下得到了广泛的应用。有限元法的求解思路从单元的角度观察，每一个单元只通过节点与结构的其他单元相 连接。这些节点为单元的出口节点，而其有关的位移为单元的出 口为移。对于任一个单元，可以写出如下形式的方程组1 有限单元法其中 是单元出口自由度数，即结构与单元的相互作用是通过这 个出 口为移表示，这些位移即为结构与单元连接节点位移 ， 是节 点反力，与出口 为移相对应。 方程系数 称为刚度系数，如写成矩阵形式，就是单元刚度 阵，记作 进一步单元刚度阵与出口位移、反力关系，可表示如下对于平面内梁单元：对于平面内梁单元：有两个出口节点，每一个节点3个自由度 ，2个线变位，1个角变位。出

3、口位移向量为 相应的单元刚度阵为说明 上述位移和反力都是在单元局部坐标系里描述的，相应于 单元刚度阵为单元局部刚度阵。 当坐标进行变换时，单元刚度阵也需要进行相应坐标变换 。 如何计算单元出口刚度阵，以及构造新的单元等等是有限 元的一个研究领域。对结构中所有单元进行组装，就得到结构的正则方程，为 式中 是整个结构，即有限单元拼装组成的结构总刚度 阵。 为结构的未知位移向量，称为总位移向量。 为结 构总外力向量。 基于有限元的位移法求解思路 当结构的正则方程建立之后，除了总位移向量，所有的量 都为已知。采用标准的线性代数方程求解器求解。 计算出总位移向量之后，各个有限元出口位移就可以由总 位移向

4、量中的各个分量及结构的约束条件计算出。 各个单元内的位移及内力可以根据其出口位移用插值方法 ，或者通过弹性力学的变分原理求出。 2 弹性理论的基本公式 平衡方程，应变-位移关系、应力-应变关系在三维弹性条件下平衡方程（静平衡、动平衡有惯性项） 在三维坐标系下，应变-位移关系为 其中 ， ， 为正应变； ， ， 为剪切 应变； ， ， 为位移分量。 应力-应变关系为 将应力-应变、应变-位移关系带入平衡方程，不计初始应变，可 以得到 其中 为三维拉普拉斯算子为体积变化率。这套方程称为拉梅方程，是以位移作为未知数表示的平衡方程。 力学中两个重要要原理 最小总势能原理：最小总势能原理：在所有满足内部

5、连续条件及边 界上的位移约束条件的位移中，满足平衡方程的 位移使得总势能取驻值。如果驻值极小，则平衡 是稳定的。 虚位移原理：虚位移原理：如果一个内力分布与外力相平衡， 则对于任一个可能位移，内力与外力作功之和为 零；反之，如果对于任一个可能位移，内、外力 作功之和恒为零，则该力系处于平衡之中。最小总势能原理是与弹性力学位移法相对应 的变分原理。弹性力学的变分原理 总势能由结构的变形能 以及外力势能 两个 部分相加而成 根据最小总势能原理，在其平衡位置附件取一个 可能位移的变分，有 此为虚位移原理的一个表达形式。 弹性体总势能的具体表达式 小结：上述弹性理论公式是对于连续体，弹性体内任 一点位

6、移都是独立未知数，因此具有无穷多的未知数 。3 假定位移场的有限元公式推导 有限元将弹性体剖分成单元，将未知数选择为节点处 位移。单元内部的位移由节点处的位移插值得到。插 值函数依赖于有限个参数(节点处的位移)。与瑞利 李兹法相似，未知函数在整个区域依赖于有限个参数 。 通过变分原理可以推导出求解这些参数的代数方程组 。有限位移法就相当于对最小总势能原理使用李兹法 。利用上述思路建立结构正则方程。设单元内任一点位移由下式给出 其中 是单元出口位移向量， 为单元形函数矩阵 。 利用应变-位移关系有 其中 为应变出口位移映射矩阵。 利用上述关系，任意一个单元的变形能为 单元的外力势能为对于有 个单

7、元的结构，结构的总势能为 其中 为转换矩阵。对于任一个单元，出口位移与结构总位移的关系可由下式给 出 结构的总势能成为 此式即为结构有限元模型下结构总势能的表达式，该模型总势 能由节点独立自由度(位移)所决定。 式中，最高二次项为 其中 为单元在局部坐标系中的出口刚度阵。 整理结构总势能的表达式得到 式中 为结构的总刚度矩阵，由 个单元刚度阵相加而成 由最小总势能原理，处于平衡位置的位移 满足下面的方 程组 整理后的结构总势能的模型按上式求偏微商之后，便得 这就是结构有限元位移法的正则方程。 4 结构模型化及程序模块划分 模型化的角度 模型化的方法 模型化的内容模型化的两方面内容工程实际对程序

8、功能要求，计算模型能与实际结 构工作状况一致。程序应具有的结构模型处理能 力，这是程序的结构模型化所要解决的问题。（ 结构的模拟、载荷的模拟等等）对于已有的结构分析通用程序，在程序功能范围 内抽象手中具体一个结构计算模型。这是具体结 构模型化的问题。（动力分析模型、静力分析模 型）（高低频考虑、单元划分的稠密等等）工程实际对结构分析程序功能要求 通用性，尽可能处理各种复杂结构计算。 可读性，具有二次开发的接口。 提供各种模型化手段，避免方程病态保证求解精度。 模型的建立方便性。命令流、图形建模、与其它有限 元模型的兼容等等。 可扩充各种新的单元。 易于扩展到不同分析领域，如优化、稳定、控制等等

9、 。 容错性、对于错误尽可能给出报告信息。 计算结果的动态可视化显示等等。多目标程序的核心问题 数据库管理如：数据文件就是 一个简单的数据库 ，同一有限元程序 的不同的版本其输 入文件数据库的 构造可能有所不同 不兼容等等有限元程序都的数据管理方式 在有限元程序中，对于计算机外存（硬盘、软盘）开设一 个虚拟的、很大的可以任一处随机读写的“数组”BANK库 。对于BANK的读写是通过调用子例程进行访问的。有效信息区未使用的部分BANK:IPIPTRG（1）*512IPTRG（2）有限元程序都的数据管理方式 对于计算机内存采用动态管理，应用内存文件管理系统进 行，并完成同BANK的数据交换。内存文

10、件管理系统是数据 管理及存储管理的一个辅助程序系统。它同有限元分析程 序没有关系。 文件构造图： 1234567NRECNRECNREC7个字1f2f3f导向器区LDIRECLEN文件总长记录区注：文件在内存IDT数组中存区的基址为IBSW。IDT(IBSW+1)：文件的第1个字，其中存文件在内存中占有的长度LEN，以2 字节为单位。IDT(IBSW+2)：文件的第2个字，记为IPT。内存中前面IPT个字不是立即可 用的资源；而后面LENIPT个字是立即可用的资源。IDT(IBSW+3)：文件的第3个字，记为IV。表示文件尚有IV个字的资源可供 使用。 IDT(IBSW+4)：文件的第4个字，

11、记为ISTAT。冻结标记，当为10000时表示 冻结。此时只可使用立即可用的资源。所有记录原位置不动。IDT(IBSW+5)：文件的第5个字，为本文件的记录数NREC。IDT(IBSW+6)：文件的第6个字，记为JFILBS。文件的库基址。由此可以找 出本文件在库BANK中导向器存区的基址。 IDT(IBSW+7)：文件的第7个字，本文件导向器的长度，记为LDIREC。说明：IBSW是本文件在内存IDT数组中存区的基址。所谓基址是指向存区之 前的地址数。 有限元分析数据库（模型/载荷 ） 节点坐标 单元管理 约束条件 物理性质等等 附加质量 荷载管理5 程序的单元分析模型 单元分析与结构体系之

12、间的接口原则 结构体系提供的功能：按单元随机调取单元表示，即单元的连接 节点及单元的性质，并且能够完成单元的局部坐标到结构总体坐 标系的坐标变换，提供单元各出口节点在本身局部坐标系中的坐 标值。 单元向结构体系提供：单元局部坐标系中表示的单元出口刚度阵 ，单元内荷载引起的单元出口节点上的反力。 结构体系在求出总位移向量后，向单元提供在其局部坐标 内的单元出口位移值。 单元分析在得到出口位移后，可计算单元内力分布。 结构体系将内力、变形按格式输出。结构体系方面单元表示、单元性质、局部坐 标内节点坐标单元内荷载总外力向量总刚度阵总位移向量单元出口位移输出单元分析方面单元出口刚度阵单元出口反力单元内

13、力 有限元离散后，未知数一般是节点位移。由于结构构造方 面的要求，往往有些单元刚度很大而其它一些单元刚度很 小，相比之下这些刚度大的单元不能发生变形。因此这些 刚度大的单元出口位移就不是相互独立的了（具有相关性 ）。结构的自由度与独立位移就成为一个重要问题。 复杂结构结构常常需要多种单元组合进行模拟，由于不同 单元出口位移性态不同，如何处理不同单元之间（如梁单 元和杆单元）的连接也是一个重要问题。有时不同结构部 件相互连接并不是完全固接，其计算模型的选取也是需要 处理的问题。 6 约束与运动分析的模型化以上这些问题的核心是不同节点位移之间的关系（节点位 移之间的相关性），对于这些问题的处理可采

14、用节点位移 规格数及主从关系进行。6.1 结构节点位移规格数 在采用有限元位移法时，结构的变形状态是以节 点位移作为基本未知数的。 对于一个三维空间结构，计算模型可能由多种单 元组装而成，节点位移允许有6个自由度（3个线 变位，3个角变位），即 由于有不同的结构形式以及不同的边界条件或约束条件， 节点任一个位移都可能有以下5种规格，分别以0，1，2， 3，4的代码表示 在这5种位移规格中，只有独立位移才进入结构的总未知 数向量。 相关位移虽然也是未知数，但它是由独立位移和指定位移 所决定的，不是独立未知数，不计入结构总位移向量之中 。规定结构总位移向量是由独立未知数所组成。 根据总位移向量与指

15、定位移，可以计算出一个节点的任一 个位移，称总位移向量及指定位移为控制位移。 上述节点位移规格数都是在结构全局坐标系中描 写的，这个坐标系称作绝对坐标系。结构节点坐 标是由绝对坐标系来定位的。 位移规格数的引入一方面可以处理非齐次节点位 移，另一方面，它不仅能协助把指定为零及几何 可动位移排除在总位移向量之外，还可以处理指 定位移和相关位移，并也将其排除在总位移向量 之外。 这对扩大解题范围、减少独立未知数，避免方程 病态，从而提高求解精度有很大作用。6.3主从关系及其应用对于如图的空间结构，假设结构中间有 一块的地方的刚性远较其它杆件的刚性 大，在图中用斜线表示。现在要分析这 个结构的受力变形状态或者振动固有值 问题。该结构为空间杆系，每个节点的 未知位移的个数为6。 这个刚性块上与其它杆件相连共有10个节点，图中ABCDEFGHIJ来代表。 直观的处理方法是把10个节点的位移都认为是独立未知数，为了实现刚 性，则在这些节点相互间用一些其刚性远较其余杆件大的杆件人为地连 接起来，组成新的体系来模拟，之后进行计算。这个处理方法虽然可行 ，但具有明显的缺点。 显然，每个节点6个独立未知数，刚体部分10个节点就有60个独立未知数 ；然而从刚体运动学可知，一个刚体只有6个独立位移。这样，54个独立 未知数是多余的了。未知数的增加伴随而来的结构总刚度