《[2017年整理]弹性力学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[2017年整理]弹性力学课件（111页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 位移分量的求出第四节 简支梁受均布荷载第五节 楔形体受重力和液体压力例题第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答第二节 矩形梁的纯弯曲第三章 平面问题的直角坐标解答31 逆解法和半逆解法 多项式解法1.当体力为常量，按应力函数 求解平面 应力问题时， 应满足按 求解 多连体中的位移单值条件。 (c) S = 上应力边界条件, A内相容方程第三章 平面问题的直角坐标解答对于单连体，(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。由 求应力的公式是(d)第三章 平面问题的直角坐标解答2 .逆解法 先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(b)
2、反推出 各边界上的面力， 代入(d), 求出第三章 平面问题的直角坐标解答从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。 逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第三章 平面问题的直角坐标解答例2 二次式 ，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。例1 一次式 对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章 平面问题的直角坐标解答例3逆解法设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？yxolh/2h/2( l h)第三章 平面问题的直角坐标解答解：按逆解法。1. 将 代入相容方程，
3、可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。2. 由 求出应力分量第三章 平面问题的直角坐标解答因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。在主要边界（大边界） 上， 第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0，l的次要边界（小边界）上，第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0,l 小边界上的面力 如下图中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问题。第三章 平面问题的直角坐标解答FFM(a)(b)第三章 平面问题的直角坐标解答 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步骤：半逆解法
4、 由应力(d)式，推测 的函数形式； 假设应力的函数形式 （根据受力情 况，边界条件等）；第三章 平面问题的直角坐标解答 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题半逆解法1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。第三章 平面问题的直角坐标解答3-2 矩形梁的纯弯曲梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。 问题提出h/2h/2lyx( l h)
5、oMM第三章 平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。第三章 平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件，原则是: 边界条件b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。 a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章 平面问题的直角坐标解答主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界 x=0, l,(c)的边界条件无法精确满足。第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界用两个积分的条
6、件代替 第三章 平面问题的直角坐标解答当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)第三章 平面问题的直角坐标解答如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件 也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢 量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不 必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第三章 平面问题的直角坐标解答3-3 位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出第三章 平面问题
7、的直角坐标解答1. 由物理方程求形变求形变第三章 平面问题的直角坐标解答2. 代入几何方程求位移求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 对式(a)两边乘 积分, 对式(b)两边乘 积分 , 求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 再代入(c) , 并分开变量，上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第三章 平面问题的直角坐标解答由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量 ， 须由边界约束条件来确定。第三章 平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程，积分求 ；归纳：从应力求位移步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第三章 平面问题的直角坐
8、标解答2. 铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。纯弯曲问题的讨论：1. 弯应力 与材料力学的解相同。3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。 第三章 平面问题的直角坐标解答思考题2. 试证明刚体位移 实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以验证。提示：微分体的转动分量为1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截面假设成立？第三章 平面问题的直角坐标解答3-4 简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。问题yxollh/
9、2h/2第三章 平面问题的直角坐标解答现采用此假设。半逆解法按半逆解法求解。 假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第三章 平面问题的直角坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分，对x再积分，(a)半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答式(b)中已略去对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法解出:第三章 平面问题的直角坐标解答对称性条件由于结构和荷载对称于轴，故 应为 的偶函数， 为 x的奇
10、函数，故 。 由 求应力。半逆解法在无体力下，应力公式如书中式( f ),(g),(h)所示。第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件。由此解出系数A , B , C , D 。 主要边界主要边界第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第三章 平面问题的直角坐标解答最后应力解答：应力第三章 平面问题的直角坐标解答应力的量级当 时, x l 同阶， y h 同阶.第一项 同阶,（与材料力学解同） ;第二项 同阶, （弹性力学的修正项 ）同阶, （与材料力学解同）应力的量级同阶, （材料力学中
11、不计）第三章 平面问题的直角坐标解答当 时, 量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较:最主要量级 , 和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。最小量级 , 在材料力学中没有。 当 时, 仅占主项 的1/15 ( 6 %) ,应力比较中的弹性力学修正项：第三章 平面问题的直角坐标解答弹性力学与材料力学的解法比较:应力比较弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第三章 平面问题的直角坐标解答几何条件中引用平截面
12、假定 沿 为直线分布；例如：边界条件也没有严格考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只考虑 的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第三章 平面问题的直角坐标解答对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度；对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。第三章 平面问题的直角坐标解答1. 当问题中的y轴为对称轴时，试说明 和应为x的偶函数，而 应为x的奇函数。思考题2. 对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的？第三章 平面问题的直角坐标解答3. 试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不符合平面截面假设。 4. 材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？第三章 平面
13、问题的直角坐标解答3-5 楔形体受重力及液体压力设有楔形体， 左面垂直，顶角为，下端无限长，受 重力及齐顶液体压 力。oyxn 第三章 平面问题的直角坐标解答用半逆解法求解。因为应力 , 而应力的量纲只比高一次（L），所以应力(x , y 一次式）,=即可假设应力为x , y 的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:第三章 平面问题的直角坐标解答（2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式，（3） 满足相容方程（4）由 求应力，第三章 平面问题的直角坐标解答（5）考察边界条件-本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件。x=0 铅直面，解出解出第三章 平面问题的直角坐标解答斜边界上，须按一般的应
14、力边界条件来表示，有第三章 平面问题的直角坐标解答其中由式（b)解出a、b,最后的应力解答,应力第三章 平面问题的直角坐标解答水平截面上的应力分布如图所示。第三章 平面问题的直角坐标解答楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答；分逢重力坝接近平面应力问题；在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。重力坝规范规定的解法材料力学解法（重力法）.重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第三章 平面问题的直角坐标解答思考题重力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足哪些条件？在重 力法中考虑了哪些条件？第三章 平面问题的直角坐标解答例题1 例题2 例题3 例题4例题8例题7例题6例题5第三章 平面问题的直角坐标解答例题1设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计， 图3-5，试用应力函数
