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1、第二章 初等数学模型一、小兔的繁殖问题二、评选公平性问题三、棋子颜色的变化四、双层玻璃的功效五、公平的席位分配一、生小兔问题1、问题：兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成 活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有 多少对兔子?注：这是13世纪意大利比萨的一位叫伦纳德，绰号为斐波那 契(Fibonacd，11701250)的数学家，在一本题为算 盘书的数学著作中，提出的一个有趣的问题。2、图示3、问题分析第一个月：只有一对小兔。第二个月：小兔子末成熟不会生殖，仍只一对，第三个月；这对兔子生了一对小免，共有两对。第四个月：老兔子又生了一对小免，而上月出生的
2、小免还未成熟，这时共有三对。4、问题分析与模型建立记r i 表示第i个月的兔子数 （1） r 1 = 1（2） r 2 = 1 （3）规律：2年后兔子的对数：750255、 Fibonacd数列的奇特性质6、 Fibonacd数列的广泛应用1、一本专门研究它的杂志斐波那契季刊(Fibonacci Quarterly)于1963年开始发行，在美国还专门设立了Fibonacci数委员会。 2、上世纪50年代出现的“优选法”中，也有斐波那契数列的巧妙应用。 3、斐波那契数列不只是在生小免问题中才会遇到，它也出现在自然界、生活中.，如植物的叶序、菠萝的鳞片、树枝的生长、蜜蜂进蜂房的路线、钢琴键盘等二、
3、优秀成果评选公平性问题1、问题：设有N个评委组成的评选委员会，有M项研究成果，评委会要从中选mP2/n2，不公平程度用以下数值衡量：绝对程度： P1/n1 P 2/n2评价：无法区分两种程度明显不同的不公平情况但常识告诉我们，这种情况的公平席位度比起前面已大为改善。改进： 相对标准2、指标体系的建立（3）相对标准的建立：符号假设同上若： 定义 为A相对不公平值若： 定义 为B相对不公平值方案原则：使这些指标值尽可能小3、分配方案的确定假设：A、B两方已分别占有n1、n2席，利用相对不公平值 rA和rB讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A还是B？不失一般性可设 ，即对A不公平当再分 配1个席位
4、时，关于P i/n i(i1，2)的不等式可能有以下3种情况： （1） ，说明即使A方增加1席，仍然对A不公平，所以这一席显然应分给A方。3、分配方案的确定为什么？为什么 ？因为讨论是从对A不公平即 前提出发的。而P 2 / n 2 P 2 / ( n 2 + 1)，因而不会出现这种情况。3、分配方案的确定归纳：因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可能地小，所以如果则这1席应分给A方；反之则分给B方。模型：当上式成立时增加的l席应分给A方。反之则分给B。4、模型的推广Q值法推广有m方分配席位的情况：设第i方人数为P i ，已占有n i个席位，i=1，2，.，m。当总席位增加1席时，计算：
5、应将这席分给Q值最大的一方。这种席位分配方法称Q值法。5、本问题求解：下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系 分配21个席位的问题。 （1） 先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕，有n1=10，n26，n33 （2）然后再用Q值方法分配第20席和第21席：第20席：第21席：于是这一席应分给丙系。评论这种方法公平吗？Q值所反映的对第i方的不公平程度：记p为总人数即pP i，n为总席位数，且设第i方 席位n i为按人数比例计算的整数部分即：于是：上式两端分别是增加的1席分给第i方和不分给第i方 时，该方每席位所代表的人数，这两个值越大，对第i方 越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值
6、的平方，故Qi能 反映对第i方酌不公平程度，增加酌1席应分给Q值最大的 一方。关于公平分席的另一方案 新问题：学校共1000名学生，235人住在A宿台，333人住B宿舍，432人住在C宿舍学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。dHondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用1，2，3，.正整数相除 其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数)，在数字 下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2、3、5， 这就是3个宿台分配的席位。这种方法有道理吗?问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。 假设：1. 直圆管，粗细一致。2. 带子等宽，无弹性
7、。3. 带宽小于圆管截面周长。4. 常用缠绕的方法包扎管道. 参变量：L：管道长；W ：带宽；C：圆管截面周长；：倾斜角。练习1：管道包扎问题实际问题解决: 1. 若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将 管道缠绕包扎上? 2. 现有带长M=80m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管 道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？ (计算结果精确到0.001m) 进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的 方法包扎管道，需用多长的带子？设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W, 带子长 M. 带长模型 （截口）包扎模型 （倾斜角）包扎模型 MCLWMCLW推广：现有带长M1=80m，计划将这条 带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕 时允许带子互相重叠一部分。应该如何包 扎这个管道？ 如图当带的倾斜角大于， 截口线大于C，带子就会重叠，（相反时 带子就间隔）重叠时相当于带子变窄包扎 ，变窄的带宽为： 解方程得 W=18.8cm
