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1、第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造有限元设计 Finite Element Design 问题提出：子弹以5mm/s速度挤进枪管，材料参数及初始条件均已知，问子弹及枪管的应力、应变、接触摩擦力如何计算？来源于国家自然科学基金项目 问题求解：列写微分方程，解析求解？通过实验测试？成本高，局限性大有限元分析求解？采用有限元分析，其决定性的步骤之一是选择适当的单元和插值函数。第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造单元类型与分析单元类型与分析位移函数和插值函数
2、表示方法二三角形单元形态矩阵的计算方法三等参单元简介四一一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造在单元类型的选择上, 一维单元可以是2节点线元或3节点二次元, 二维单元常用3/6节点三角元或4/8/9节点四边元, 三维单元常用4/10节点四面体元或8/20节点六面体元。特殊情况下, 也可采用五面体元。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造1、一维单元2节点线形元3节点二次元网格划分简单，用于求解一维场问题。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章
3、单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造2、二维单元u 三节点三角形单元 u CST（常应变单元） u 线性三角形单元三角形单元网格划分简单； 常应变三角形单元对于弯曲过刚；加密网格 时可以收敛，收敛很慢； 对于平面应变问题网格可能锁定；一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造2、二维单元u 六节点三角形单元 u 线性应变三角形 u 二次三角形单元描写弯曲性能远优于CST单元。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造2、二维单元u 四节点四边形
4、单元 u 双线性位移场四边形单元剖分比较困难（但平面问题总的来 说，剖分单元已可解决得很好）； 四节点四边形单元属于Lagrange插值。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造2、二维单元u 八节点四边形单元八节点四边形单元非完全二次元，属于 Serendipty单元。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3
5、3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造3、三维单元u四节点四面体单元 u线性位移场 u常应变u十节点四面体单元 u完全二次位移场 u线性应变场u八节点六面体单元 uLagrange插值u二十节点 Serendipity单元四面体单元划分网格简单，八面体单元划分网格 困难得多，仍为研究前沿。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造例1：问题描述：问题描述： 受自重作用的等截受自重作用的等截 面直杆如图所示，杆的长度为面直杆如图所示，杆的长度为L L，截，截 面积为面积为A A，弹性模量为，弹性模量为E
6、E，单位长度的，单位长度的 重量为重量为q q，杆的内力为，杆的内力为N N。试求：杆的。试求：杆的 位移分布，杆的应变和应力。位移分布，杆的应变和应力。 请采用材料力学知识进行解析求解，时间10分钟一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造考虑微段dx，内力 dx的伸长为x截面上的位移：根据几何方程求应变，物理方程求应力应变 应力材料力学求解：一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造有限元法求解1. 1. 离散化离散化将直杆划分成将直杆划分成n n个有限段，有
7、限段之间个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的铰接点通过一个铰接点连接。称两段之间的铰接点 为结点（节点），称每个有限段为单元。其为结点（节点），称每个有限段为单元。其 中，第中，第i i个单元的长度为个单元的长度为L Li i，包含第，包含第i i，i+1i+1个个 结点。结点。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造2. 2. 用单元结点位移表示单元内部位移用单元结点位移表示单元内部位移第第i i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，个单元中的位移用所包含的结点位移来表示，其中其中u ui i为第为第i i
8、结点的位移，结点的位移，x xi i为第为第i i结点的坐标。结点的坐标。一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造第第i i个单元的应变为个单元的应变为 i i，应力为，应力为 i i，内力为，内力为N Ni i：一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造3. 3. 把外载荷集中到结点上把外载荷集中到结点上把第把第i i单元和第单元和第i+1i+1单元重量的一半单元重量的一半 ， 集中到第集中到第i+1i+1结点上。结点上。 一、单元类型与分析一、单元类型与分析
9、第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造4. 4. 建立结点的力平衡方程建立结点的力平衡方程对于第对于第i+1i+1结点，由力的平衡方程可得：结点，由力的平衡方程可得：令令 根据约束条件，根据约束条件， 对于第对于第n+1n+1个结点，个结点， 一、单元类型与分析一、单元类型与分析第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造建立所有结点的力平衡方程，可以得到由建立所有结点的力平衡方程，可以得到由n+1n+1个方程构个方程构 成的方程组，可解出成的方程组，可解出n+1n+1个未知的个未知的结结点位移。点位移。如直杆划分成如直杆划分成3
10、3个等长的单元，解得：个等长的单元，解得：通过比较可以看出，在结点处两种方法得到的位移完全相同！通过比较可以看出，在结点处两种方法得到的位移完全相同！第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造单元类型与分析位移函数和插值函数表示方法二三角形单元形态矩阵的计算方法三等参单元简介四一二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单 元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的 位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示 。在单
11、元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函 数称为单元位移函数、或单元位移模式。 二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项 式表示，二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越 精确。具体取多项，由单元形式来确定。即以结点位移来 确定位移函数中的待定系数。如图所示的3结点三角形单元，结点I、J、M的坐标分别 为(xi,yi
12、)、(xj,yj)、(xm,ym)，结点位移分别为ui、vi、uj、 vj、um、vm 。 二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造位移只能确定六个多项式的系数，所以3结点三角形单 元的位移函数如下， 将3个结点上的坐标和位移分量代入（1）式就可以将 六个待定系数用结点坐标和位移分量表示出来。（1）二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造将水平位移分量和结点坐标代入（1）第一式，写成矩阵形式，二、位移模式和插值函
13、数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造令 则有 A为三角形单元的面积。 二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造T的伴随矩阵为，令 则 二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（1） 中的第二式，可得， 将两式代回（1）整理后可得， 二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3
14、章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造令 （下标i，j，m轮换） 可得 二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造单元内的位移记为 单元的结点位移记为 单元内的位移函数可以简写成， 把N称为插值函数矩阵或形态矩阵、形函数矩阵，Ni称为 插值函数或形态函数、形函数。二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于：几何图形（单元
15、形状）、 结点数量与位置以及在单元结点处规定的因变量的数量。二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造选择单元位移函数应满足以下条件：1）反映单元的刚体位移与常量应变，称为完备性条件。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，单元之间不能重 叠，也不能脱离。即位移函数在单元之间连续，称为 协调性条件。单元位移函数满足以上两个条件，就满足收敛性要求。二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造由（1）可以将单元位移表示成以下
16、的形式，反映了刚体位移和常应变。单元位移函数是线性插值函数，因此单元边界上各点 的位移可以由两个结点的位移完全确定。两个单元的边 界共用两个结点，所以边界上的位移连续。二、位移模式和插值函数表示方法二、位移模式和插值函数表示方法第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造形态函数Ni具有以下性质：1）在单元结点上形态函数的值为1或为0。 2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。用来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点i，j，m取逆时针顺序时， ；当三个结点i，j，m取顺时针顺序时， 。第第3 3章章 单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构
