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1、有限元与数值方法第五讲5.1 变分原理与变分法授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：0010：201基于变分法的求解方法pp 变分法是有限元列式的另一个理论基础变分法是有限元列式的另一个理论基础pp 变分法比加权残数法有更明确的物理意义变分法比加权残数法有更明确的物理意义pp 并非所有问题都有相应的变分原理并非所有问题都有相应的变分原理2变分法的基本概念变分法的重要性;l微积分l微分方程和变分原理l从微观到宏观,从宏观到微观的方法论中国学者贡献:胡海昌Hu-Washizu变分原理大连理工大学在变分法方面的贡献l余能原理
2、l极限分析与安定性分析的变分原理l参变量变分原理l广义变分原理和拟协调元3q变分：两个函数在同一点的函数值差对于自变量泛函：函数的函数 对于函数q微分： 同一函数在两点的函数值差f(x)f(x)+f(x)f(x)变分法的基本概念一元函数： 基本概念4变分法的基本概念一元泛函的一般形式是5变分与积分号可互换函数在固定点的变分为零变分法的基本概念变分的运算函数导数的变分等于变分的导数6计算利用微分推导变分问题的欧拉方程y(x)y(x)+y(x)y(x)12固定边界最简泛函的欧拉方程固定边界最简泛函的欧拉方程7Lagrange的泛函变分定义为利用微分推导变分问题的欧拉方程由分部积分8利用微分推导变分
3、问题的欧拉方程由由 的任意性，得到欧拉方程：的任意性，得到欧拉方程： 注意负号！注意负号！欧拉方程是泛函极欧拉方程是泛函极 值的必有条件，并值的必有条件，并 非充分条件非充分条件9多元函数的变分问题对w(x,y)取变分可得10多元函数的变分问题由此推出欧拉方程11如何建立变分式:从物理概念出发从微分方程边值问题出发如何由变分式推出欧拉方程如何利用变分式得到物理问题近似解瑞雷法,里兹法,伽略金法,有限元法12固体力学中的变分原理介绍虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总 余能原理，广义变分原理虚位移原理，虚应力原理，最小总势能原理，最小总余能 原理等都可以用变分方法推导求得广义变分原理可
4、以从由变分方法推出；Lagrange乘子的物理意义13满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称 为许可位移1. 虚位移原理（虚功原理）固体力学中的变分原理微分方程：14在任意的虚位移上, 内力虚功=外力虚功固体力学中的变分原理取 则15和外力(包括表面力和体力)平衡的任意应力称为许可应力；非真实的许可应力是虚应力。2.虚应力原理小位移假设下的真实应变与真实位移满足：小位移假设下的真实应变与真实位移满足：因此下式成立：因此下式成立：162.虚应力原理由于应力张量是对称的，并且力的边界上面力变分为零，所以有由于应力张量是对称的，并且力的边界上面力变分为零，所以有17任意的虚应力在协调 位移上
5、作的功为零2.虚应力原理18一般情况下的最小总势能应变能：物理方程的 一种表示W 为单位体积应变能3. 最小总势能原理对于线性问题：19虚功原理:3. 最小总势能原理20对于线性问题：3. 最小总势能原理例：断面积为A的直杆拉伸问题q P21该问题微分方程为：3. 最小总势能原理22p一般地说，利用这个方法得到的位移比应力的精度要高p如果试探函数属是完备的，则随着项数的增加，得到的解 趋于精确解。试探函数要完备，一定要包含反映常应变的项p由于采用近似函数得到的总势能值会高于精确解对应的总 势能值，所以近似解的应变能会小于精确解的应变能，近似 解通常过刚（总势能应变能；应变能越大，结构越柔）,
6、即求得的位移往往比真实位移小，但求得的应力就没有确定 的结论基于变分原理的近似方法23系统的余能包括两部分,一部分是余应变能Uc,一 部分是已知位移边界条件上的外力余能Vc4.最小余能原理24最小余能原理：所有的许可应力状态中，真实应力状态使系统 的余能取最小值p 对非线性弹性问题，余能原理一样成立 p 应用最小余能原理时要求许可应力状态满足和外力（包括给定的面力和 体力）平衡；真实应力状态也是一个特殊的许可应力状态p 许可应力状态和真实应力状态的区别在于：由许可应力状态和应力应变关系可以求得相应的应变，但是这些应变可 能不协调；而真实应力状态相应的应变是协调的。p 简单地说，最小余能原理相当于协调方程p 最小余能原理可用来构造杂交单元的有限元列式4.最小余能原理25各种变分原理和基本方程的关系26瑞雷李兹法（Rayleigh-Ritz Method） 选取一组满足位移边界条件的试探解，利用最小总势能原理 确定待定系数，从而得到近似解基于变分原理的近似方法27
