概率统计基础知识中级培训讲座PPT

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1、质量专业理论与实务讲师:张宝山第一章 概率统计基础知识（中级）农民歌手朱之文1.概率基础知识 随机变量及其分布 统计基础知识 参数估计 假设检验 培训主要内容第一节 概率基础知识一、事件与概率（一）随机现象 随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。 特点 随机现象的结果至少有两个 至于哪一个出现，人们事先并不知道 【例1.1-1】以下是随机现象的另外一些例子（1）一天内进入某超市的顾客数；（2）一顾客在超市中购买的商品数；（3）一顾客在超市排队等候付款的时间；（4）一颗麦穗上长着的麦粒数； 样本点认识一个随机现象，首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果 是今后的抽

2、样单元即样本点。 样本空间：记为随机现象可能样本点的全部称为这个随机现象的样本空间。“抛一枚硬币”的样本空间正面，反面“抛一颗骰子”的样本空间=1，2，3，4，5， 6（二）随机事件 事件（随机事件）：随机现象的某些样本点组成的集合。用大写英文字母A、B、C表示。1.随机事件的特征 任一事件A是相应样本空间中的一个子集。 事件A发生当且仅当（ ）A 中某一样本点 发生。 事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用 语言要大家明白无误。 任一样本空间有一个最大子集即；它对 应的事件称为必然事件，仍用表示。 任一样本空间都有一个最小子集即空集，它对应的事件称为不可能事件，记为【例1.1-2】若 产品

3、只区分合格与不合格，并 记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件 产品的样本空间由下列四个样本点组成。 其中样本点（0，1）表示第一件产品为合格品 ，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似 解释。=（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）2.随机事件的关系 包含：AB或BA在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包 含在B中，或B包含A。 互不相容在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。 可推广到三个或更多个事件间的互不相容 相等：A=B即AB且AB在一个随机现象中有两个事件A与B，若样 本A与B含有

4、相同的样本点，则称事件A与B相等。例：A=（x，y）：x + y =奇数B=（x，y）：x与y的奇偶性不同A=B=(1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5)(3,2),(3,4),(3,6)则：（三）事件的运算 事件运算 对立事件：A在一个随机现象中，是样本空间，A为事件 ，则由在中而不在A中的样本点组成的事件称为 A的对立事件，记 。则， 事件A与B的并：AB由事件A与B中所有样本点（相同的只计入 一次）组成的新事件。称为A与B的并， 发 生意味着“事件A与B至少一个发生” 事件A与B的交：A B或AB由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称 为事件A与B的交。

5、发生意味着“事件A与B同 时发生” 事件的并和交可推广到更多个事件上去。 事件A对B的差：A-B由在事件A中而不在B中的样本点组成的 新事件，称为A对B的差。（a）A-B（b）A-B（ ）事件运算性质： 交换律： ， 结合律： 分配律： 对偶律：可用维恩图验证，可推广到三个或三个以上事件的运算。（四）事件的概率 概率事件发生可能性大小的度量在一个随机现象中，用来表示任一随机事件 A发生可能性大小的实数称为该事件的概率，记 为P（A）。 概率是一个介于0和1之间的数，即0P(A)1; 必然事件的概率等于1，即P（）=1； 不可能事件的概率等于0，即P（）=0。二、概率的古典定义与统计定义（一）古

6、典定义 所涉及的随机现象只有有限个样本点。如共有n个样本点； 每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）； 假如被考察事件A含有K个样本点，则事件A的概率定义为 例1.1-3掷两颗骰子，其样本点可用数对（x,y） 表示，其中x与y分别表示第一与第二颗骰子出 现的点数。这一随机现象的样本空间为：=（x，y），x，y=1，26它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能 性都相同。（1）定义事件A=“点数之和为2”=（1，1）， 它只含一个样本点，故P（A）=1/36 （2）定义事件B=“点数之和为 5”=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),它含有4个样本点， 故P(B)=4/36=1

7、/9 （3）定义事件C=“点数之和超过9”=(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6),它含有6个样 本点，故P(C)=6/36=1/6。 用古典方法获得概率常需要用排列与组合的公 式。现概要介绍如下： 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基 于如下两条计数原理。（1）乘法原理：如果做某件事需经k步才能 完成，其中做第一步有 种方法，做第二步 有 种方法 做第k步有 种方法，那么 完成这件事共有 种方法。（2）加法原理：如果做某件事可由k类不同方法 之一去完成，其中在第一类方法中又有 种完成 方法，在第二类方法中又有 种方法 在第k 类方法中又有 种完成方法，那么

8、完成这件事共 有 种方法。 （1）排列：从n个不同元素中任取 个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理 有 （2）重复排列：从n个不同元素中每次取出 一个做记录后放回，再取下一个，如此连续 取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原 理，此种重复排列有 个。 （3）组合：从n个不同元素中任取 个元素并成一组（不考虑其中的顺序）称 为一个组合，此种组合为（二）概率的统计定义 与考察事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的； 若在n次重复试验中，事件A发生Kn次，则事件A发生的频率为： fn(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。一般用重复次数n较大时的频率去近似

9、概率。三、概率的性质及其运算法则 （一）概率的性质：（可由概率的定义看出 ） 性质1：对任意事件A，有0P(A)1； 性质2： 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B） 性质4：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB） 若A与B互不相容P（AB）=P（A）+P（B） 性质5：对于多个互不相容事件A1，A2，有P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+p(A3)+； 【例1.1-7】抛三枚硬币，至少一个正面出现 （记为事件）的概率是多少？ 【例1.1-8】一批产品共100件，其中5件不合 格品，现从中随机抽出10件，其中最多有两 件不合格的概率是多少？ 【例1.1-8】某足球队在未

10、来一周中有两场比 赛，在第一场比赛中获胜概率为1/2,在第二 场比赛中获胜概率为1/3,如果在两场比赛中 都获胜的概率是1/6，那么该队在这两场比赛 中至少有一场获胜的概率是多少？（二）条件概率与概率的乘法法则 条件概率 两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事 件A再发生的概率称为条件概率，记P（A/B）。计算公式： 性质6：对任意二个事件A与B，有 P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A) P(B)0 P(A)0 （三）独立性和独立事件的概率 相互独立： 设有两个事件A与B，假如其中一个事件 的发生不影响另一个事件的发生与否，则称A 事件与B事件相互独立。 性质7： 假如二个事

11、件A与B相互独立，则A与B同 时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B) 性质8： 假如二个事件A与B相互独立，则在事件 B发生条件下，事件A的条件概率P(AB)等 于事件A的（无条件）概率p(A) 事件的相互独立可推广到三个或更多的事件上去。 【例1.1-10】设某样本空间含有25个等可能 的样本点，又设事件A含有15个样本点，事 件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样 本点。由古典定义可知第二节 随机变量及其分布 一、随机变量 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变 量。常用大写字母X、Y、Z表示。 随机变量类型 离散随机变量 一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列 个点，则此随机

12、变量为离散（型）随机变量。 连续随机变量 如一个随机变量的所有可能取值充满数轴 上一个范围（a，b）或整个数轴，则此随机变 量为连续（型）随机变量。 二、随机变量的分布 随机变量的分布 随机变量取值的统计规律性。 随机变量X的分布内容： X可能取哪些值或在哪个区间上取值 X取这些值的概率各是多少？或X在任 一小区间上取值的概率是多少？ （一）离散随机变量的分布 离散随机变量的分布可用分布列表示（离 散分布） 分布列 或用数学式表达： P(X=Xi)=pi i=1，2n（p1+pn=1） pi也称为分布的概率函数 （二）连续随机变量的分布 用概率密度函数表示（简称分布） 条件： p（x）0 概率

13、密度函数p(x)的各种形式 位置不同 散布不同 形状不同 其中p(x)在x0点的值p(x)不是概率，是高度。 注：纵轴原为“单位长度上的频率”，由频率的稳定性，可用概率代替频率，纵轴就成为 “单位长度上的概率”即概率密度的概念，故最 后形成的曲线称为概率密度曲线。 p（x）x 重要结论： 1X在区间（a，b）上取值的概率 p(aXb)为概率密度曲线以下区间（a，b） 上的面积，即 P(ab)= 2. X在一点取值的概率为零，即 P(X=a)=0 故：P(axb)=P(axb) =P(aXb) =P(aXb) 三、随机变量分布的均值、方差与标准差 均值： 用来表示分布的中心位置，用E(X)表示

14、X是离散随机变量X是连续随机变量 方差： 用来表示分布的散布大小，用Var(x)表示 X是离散随机变量X是连续随机变量 标准差：用表示 表示分布散布大小。 均值与方差的运算性质 对任意二个随机变量X1和X2，有 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) 设X为随机变量，a与b为任意常数，有 E(ax+b)=aE(x)+b 设X1与X2相互独立 （和的方差等于方差之和） 这个性质可推广到三个或更多个相互独立随机变量场合 方差的这个性质不能推广到标准差场 合，对任意两个相互独立的随机变量 X1与X2，(X1+ X2)(X1)+ (X2) 而应为： 方差具有可加性，标准差不具有可加性。 四、常用分布（一）常用的离散分布1.二项分布x =0，1，n其中 表示从n个不同元素取出x个的组合数。记为b（n，p） 二项分布均值、方差和标准差 均值E(x)=np 方差：Var(x)=np(1-p) 标准差：特别，当n=1的二项分布称为二点分布2. 泊松分布：（常用于计点过程）x =0，1，2，记为P()其中e=2.71828 泊松分布均值、方差和标准差 均值：E(X)= 方差：