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1、SHOU水力学与泵水力学与泵 第四章第四章 流体动力学基础流体动力学基础 环工环工20092009v本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原因力之间的关系;v研究对象：理想流体和实际流体;v主要研究内容：欧拉方程和N-S方程能量方程（柏努利方程）动量方程和动量矩方程第4章流体动力学基础流体动力学基础 目录欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程式式 4.14.2元流伯努利方程元流伯努利方程实际流体总流伯努利方程实际流体总流伯努利方程4.34.4总流的动量方程和动量矩方程总流的动量方程和动量矩方程实际流体的运动微分方程式实际流体的运动微分方程式4.54.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式
2、x x y yz zOOA AB BC CD D4.1.1 4.1.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式的导出的导出 取如图微分六面体，各边边取如图微分六面体，各边边 长长dx, dy, dzdx, dy, dzdxdxdydydzdz p p( (x,y,zx,y,z) )p p( (x+dx,y,zx+dx,y,z) )根据理想流体的静压强分布根据理想流体的静压强分布ABAB和和CDCD面上所受到的压力面上所受到的压力4.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式若微分六面体的速度为若微分六面体的速度为u u= =u ux x i i+ +u uy y j j+ +u uz z
3、k k；流体质点受到重力为流体质点受到重力为f f= =f fx xi i + +f fy y j j+ +f fz z k kA AB BC CD Ddxdxdydydzdz p p( (x,y,zx,y,z) )p p( (x+dx,y,zx+dx,y,z) )根据力学平衡方程式，在根据力学平衡方程式，在x x方向方向压力压力重力重力惯性力惯性力4.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式同理，在同理，在y, zy, z方向也得到方向也得到理想流体运动平衡方程式理想流体运动平衡方程式矢量式矢量式4.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式极坐标形式极坐标形式4.1.2 4.
4、1.2 欧拉方程式的物理意义和讨论欧拉方程式的物理意义和讨论 式中每一项都表示单位质量的力，等号的左边表示惯性力式中每一项都表示单位质量的力，等号的左边表示惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和非均匀性引起的变位惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和非均匀性引起的变位惯性力；等号的右边表示重力和压强的合力。；等号的右边表示重力和压强的合力。 对于欧拉方程的物理意义讨论如下：对于欧拉方程的物理意义讨论如下： 4.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式(1)(1)对于静止流体对于静止流体, , ,方程式为方程式为 , ,即为静即为静力学基本方程。力学基本方程。 (2)(2)对于恒定流动，对于恒定
5、流动， 。 (3) (3) 在方程中有在方程中有8 8个物理量个物理量: : u ux x, , u uy y, , u uz z, , f fx x, , f fy y, , f fz z, , 和和p p。一。一般情况下，表示重力的般情况下，表示重力的f fx x, , f fy y, , f fz z是已知的，这个方程组和连是已知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程，在一定条件下积分便可得到续性方程及流体的状态方程，在一定条件下积分便可得到压强压强p p的分布规律。的分布规律。 4.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式SHOU水力学与泵4.2 4.2 元流伯努利方程元流
6、伯努利方程4.2.1 4.2.1 理想流体运动微分方程的积分理想流体运动微分方程的积分+ + + + +引入限定条件：引入限定条件：（1 1）作用在流体上的质量力仅为重力，且）作用在流体上的质量力仅为重力，且z z轴轴向上向上 （2 2）流体）流体为恒定、不可压缩流体为恒定、不可压缩流体 （3 3）对于恒定）对于恒定流动，流线即为迹线流动，流线即为迹线4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程沿流线积分沿流线积分4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程流线上流线上1-21-2称为称为拉格朗日拉格朗日方程，等号右边的常数方程，等号右边的常数C C称为通用常数，在整个称为通用常数，在整个流场
7、中均相等。流场中均相等。 倘若流动倘若流动是非恒定流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格朗日积分式，但有势，则可得到拉格朗日积分式 是流场的速度势。当是流场的速度势。当t t是常数时，是常数时，f(t)f(t)对整个流场是个常数。对整个流场是个常数。 葛罗米柯葛罗米柯（兰姆）运动微分方程式（兰姆）运动微分方程式 在在x x方向方向4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程同理获得同理获得y y和和z z方向方向 葛罗米柯（兰葛罗米柯（兰 姆）运动微分姆）运动微分 方程式方程式 4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程微分方程微分方程积分积分 柏努利方程推导柏努利方程推导 流体质点受到重力
8、为流体质点受到重力为f f= =f fx xi i + +f fy y j j+ +f fz z k k是是有势力有势力因此必定存在一标量场因此必定存在一标量场( (势函数势函数) )WW(x,y,z)(x,y,z)，使得，使得葛罗米柯动微分葛罗米柯动微分4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程同理获得同理获得y y和和z z方向方向 在恒定流场中在恒定流场中4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程当当 微分式可积分，积分获得微分式可积分，积分获得 位置势能位置势能 压强势能压强势能 动能动能 由瑞士科学家由瑞士科学家伯努利伯努利（BernoulliBernoulli）在）在17381
9、738年首先提出，被称为伯年首先提出，被称为伯努利方程努利方程4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程(1)(1)恒定流动恒定流动(3)(3)f f 为有势力为有势力 柏努利方程必须满足的条件柏努利方程必须满足的条件 (2)(2)不可压缩的均质流不可压缩的均质流 = =C C(3)(3)满足满足 4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程柏努利方程实用范围柏努利方程实用范围 (1)(1)静止流体静止流体u u= =u ux x i i+ +u uy y j j+ +u uz z k k=0=0(2)(2)无旋流场无旋流场= =x x i i+ +y y j j+ +z z k k=0=0
10、(3)(3)有旋流动的流线有旋流动的流线4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程绝对运动绝对运动的柏努利方程的柏努利方程 在特定坐标系中在特定坐标系中x x y yz zOOf fx x =0, =0, f fy y =0, =0, f fz z =-=-g g4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程称为称为拉格朗日拉格朗日方程，等号右边的常数方程，等号右边的常数C C称为通用常数，在整个称为通用常数，在整个流场中均相等。流场中均相等。 倘若流动倘若流动是非恒定流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格朗日积分式，但有势，则可得到拉格朗日积分式 是流场的速度势。当是流场的速度势。当t t是
11、常数时，是常数时，f(t)f(t)对整个流场是个常数。对整个流场是个常数。 4.2.2 4.2.2 伯努利方程中各项的几何意义和物理意义伯努利方程中各项的几何意义和物理意义 1 1 几何意义几何意义每一项都表示某一个高度：每一项都表示某一个高度： 是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称压强水压强水头头；z z是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置水头位置水头；是流速高度，又称是流速高度，又称流速水头流速水头；4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程H H称为总水头称为总水头H Hp p是测压管水头；
12、是测压管水头；4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头线，在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头线，将位置水头和压强水头之和的连线称为测压管水头线（将位置水头和压强水头之和的连线称为测压管水头线（或称或称水力坡度线水力坡度线，HGLHGL）；总水头的连线称为总水头线）；总水头的连线称为总水头线（或称为（或称为能量波度线能量波度线，EGLEGL）。）。 4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程物理物理意义意义 每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。z z是单位重量流体具有的是单位重量流体具有的位置
13、势能位置势能；是单位重量流体具有的是单位重量流体具有的压强势能压强势能；是单位重量流体具有的是单位重量流体具有的动能动能； 4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程是单位重量流体具有的是单位重量流体具有的总势能总势能；是单位重量流体具有的是单位重量流体具有的总机械能总机械能。（沿（沿流线流线/ /元流）元流）伯努利方程表示理想流体恒定流动伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流线，各点单位重量流体的机械能守恒，沿同一条流线，各点单位重量流体的机械能守恒 。4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程4.2.3 4.2.3 实际流体元流伯努利方程实际流体元流伯努利方程 4.2 4.2 元流
14、伯努利方程元流伯努利方程z zhhl l为单位重量流体克服阻力所做的功，或者能量损失。为单位重量流体克服阻力所做的功，或者能量损失。4.2.3 4.2.3 实际流体元流伯努利方程实际流体元流伯努利方程 4.2 4.2 元流伯努利方程元流伯努利方程u u2 2a 物理及几何意义物理及几何意义1 11 1z z1 1p p1 1/ / u u1 12 2/2/2g g2 22 2z z2 2p p2 2/ / u u2 22 2/2/2g gh h wwz z: :位置高度位置高度, ,位置水头位置水头p p/ / : :测压管高度测压管高度，压强压强水头水头u u2 2/2/2g g : :流速
15、高度流速高度，流速流速水头水头hhww : :水头损失水头损失4.3 4.3 实际流体总流伯努利方程实际流体总流伯努利方程元流能量方程元流能量方程1 11 12 22 211112222u u1 1u u2 2dsds1 1dsds2 2如何看待总流：总流由无数元流构成如何看待总流：总流由无数元流构成4.3.1 4.3.1 总流伯努利方程推导总流伯努利方程推导4.3 4.3 实际流体总流伯努利方程实际流体总流伯努利方程在渐变流中，压强服从静压强分布在渐变流中，压强服从静压强分布渐变流渐变流和急变流和急变流流体在流动中又分为流体在流动中又分为均匀流和非均匀流均匀流和非均匀流，对于非均匀流按，对于非均匀流按流速随流向变化的缓急可分为流速随流向变化的缓急可分为渐变流和急变流渐变流和急变流两种，如图两种，如图4.3 4.3 伯努利方程的实际应用伯努利方程的实际应用 令令其中：其中：动能修正系数动能修正系数4.3 4.3 实际流体总流伯努利方程实际流体总流伯努利方程令令总流柏努利方程总流柏努利方程4.3 4.3 实际流体总流伯努利方程实际流体总流伯努利方程两两断面间有断面间有分流或汇流分流或汇流的伯努利方程的伯努利方程 对于两断面间有分流的流动对于两断面间有分流的流动
