《气体分子运动论和热力学基础之麦克斯韦速率分布律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《气体分子运动论和热力学基础之麦克斯韦速率分布律（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、范例8.4 麦克斯韦速率分布律(1)根据麦克斯韦速度分布律说明麦克斯韦速率分布率律。 氧气分子质量是32u(1u = 1.6610-27kg)，氧气处于标准状 态下(273K)。氧气分子遵守麦克斯韦速率分布律，速率在 01200m/s范围内，速率间隔取100m/s，求各个速率区间 内的分子数比例，在直方图中代表什么意义？将速率间隔 持续减半，观察直方图的变化。当速率间隔很小时，直方 图顶部折线的变化趋势是什么？(2)什么是最概然速率？氧气分子在300K到600K温度区间( 温度间隔为100K)，速率分布曲线有什么异同？最概然速率 是多少？氢气、氦气、氖气、氮气、氧气和氟气分子的分 子量分别为2
2、、4、20、28、32和38，这些气体分子在300K 时的速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？ 范例8.4 麦克斯韦速率分布律解析(1)在三维速度空间中，在速度间隔vxvx + dvx、 vyvy + dvy、vzvz + dvz内，分子数占总分子数的比例为其中dvxdvydvz 是速度空间的 “体积”元。当分子以速率v运动时，速度的平方为v2 = vx2 + vy2 + vz2，“体积”元可表示为dvxdvydvz = v2dvsindd。对方位角从0到2积分，对仰角从-/2到/2积分，“体积”元就 变为4v2dv，这是半径为v，厚度为dv的球壳的“体积”。上式可改写为范例8.4 麦克
3、斯韦速率分布律取这就是麦克斯韦 速率分布函数。f(v)dv是速率区间vv + dv内分子数占总分子数的比例，是归一化常数。f(v)的单位是速度 单位的倒数s/m。在速率区间v1v2之内，或者在v- v/2 v +v/2之内 (v = v2-v1)，分子数占总分子数的比例近似为可知：分布函数下的面积表示分子数占总分子数的比例。取速率间隔为100m/s，速率分布函数 由直方条组成，其顶部呈阶梯形折线 。速率在0100m/s之内的分子数 占总分子数的比例约为1.04%，速率在 100m/s200 m/s之内的 分子数占总 分子数的比 例约为 8.11%，速率在300m/s400m/s之 内的分子数占
4、总分子数比 例最高，大约为21.8%，速率在 900m/s1000m/s之内 的分子数占总分子数 比例只有0.658%。由于速率间隔比较 大，分子数比例的 误差也比较大。取速率间隔 为50m/s， 直方条变窄 ，顶部的阶 梯变小。速率在050m/s之内的分子 数占总分子数比例约为 0.131%，速率在50100m/s 之内的分子数占总分子数比 例约为1.14%，因此速率在 0100m/s之内的分子数占总 分子数比例约为1.27%。速率间隔为100m/s的 分子数比例都可分为 两个间隔为50m/s的 分子数比例之和。极大值在350m/s400m/s速率区间，极大值为0.0022043。由于速率间
5、隔减小 了，分子数比例的 误差也减小了。取速率间隔为25m/s，直方 条更窄，顶部的阶梯更小 。速率在0100m/s之内的分子数 占总分子数比例约为1.33%。极大值在375m/s400m/s速率区间，极大值为0.0022007。速率间隔为100m/s的 分子数比例都可分为 四个间隔为25m/s的分 子数比例之和。速率间隔越小，分子 数比例就越精确。速率间 隔不断 减小， 直方条 越来越 窄。 当速率间隔很小时， 直方条很窄，直线都 连成一片，顶部的阶 梯几乎消失。速率在0100m/s之内的分子数 占总分子数比例约为1.35%。极大值在376.6m/s378.1m/s速率区间，极大值为0.00
6、22044。当速率间隔趋于零时 ，顶部将趋于光滑的 曲线，极大值范围趋 于一点，极大值越精 确。范例8.4 麦克斯韦速率分布律解析(2)当v = 0时，f(v) = 0；当v时，f(v)0。由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。 令df(v)/dt = 0，即可 得这个速率称为 最概然速率。分布函数的 极大值为温度越高或分子质量 越小，最概然速率就 越大，分布函数的极 大值就越小。质量一定的分子，温度是参数 ，麦克斯韦速率分布的函数曲 线会随参数不同而有所改变；在相同的速率间隔之内，最 概然速率附近的分子数最多 。分子向着各个方向运动时，在很大 或很小的速率附近，分子数都很少 。在温度
7、一定的情况下，不同 分子的质量是参数，函数曲 线会随参数而有所改变。对于分子质量一定的气 体，温度升高则峰值降 低，说明：在相同的速 率间隔内，向着各个方 向运动的速率小的分子 数量减少了，速率大的 分子数量增加了，分子 运动得更剧烈了。氧气分子在300K时 的最概然速率约为 395m/s，在600K时 的最概然速率约为 558m/s。氢气分子的分子量是 2，是氧气分子质量 的1/16，在300K的温 度下，最概然速率是 氧气分子的4倍，达 到1579m/s。氟气分子的分子量是38 ，在相同的温度下的最 概然速率只有362m/s。当气体温度一定时，质量 较小的分子的速率分布曲 线的峰值较低，说明：在 相同的速率间隔内，向着 各个方向运动的速率大的 分子数量比较多，速率小 的分子数量比较少。地球的逃逸速率约为1120m/s，由于氢 气分子速率分布较宽，很多氢气分子 的速率超过逃逸速度，能够脱离地球 的吸引，因而大气中的氢气比较少。同理，空气中氦气也比较少。
