《2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第13章推理与证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第13章推理与证明（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三章第十三章 推理与证明推理与证明第一节第一节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理题型题型 143 归纳推理归纳推理2013 年年1. (2013 陕西文 13） 观察下列等式： 1 121 22 122213 33 1 32332135 L 照此规律，第个等式可为 . n 2014 年年1.（2014 陕西文 14）已知， ， 1xfxx0x 1fxf x +1nnfxffx， 则的表达式为_.n+N 2014fx2. （2014 安徽文 12）如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作ABC2 2BC A的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；BC1A1AAC2A
2、2A1AC3A，以此类推，设，则 .1BAa12AAa123A Aa567A Aa7a ABC1A2A3A4A2015 年年1.（2015 陕西文 16）观察下列等式：111221111112343411111111123456456据此规律，第 个等式可为_.n1.解析解析 观察等式知，第个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且n2n分子为 ，分母是 到的连续正整数，等式的右边是.112n111 122nnnL故答案为.*111111111234212122nnnnnnNLL2.（2015 江苏 23）已知集合，1,2,3X 1,2,3,nYn*nN设整除 或 整除 ，令表示集合
3、所含元素的个数,nSa b abba,naX bY f nnS（1）写出的值； 6f（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明6n f n2. 分析分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质1234567891011121314151617186162636465661kkkkkkkk共组组第带标记的表示为的倍数或约数（其实 是奇葩，其余的都是的倍数），带标记的表313示为的倍数或约数，而则表示既是的倍数或约数又是的倍数或约数（即为的倍数或2326约数，此题不作研究）这样研究时，可直接得:6nk*kN， 63121112f nkkkk当时，可直接得：63
4、nk*kN 63311211117f nkkkk 这就是本题的本质，以为周期进行分类整合并进行数学归纳研究6解析解析 （1）当时，6n 1,2,3X 1,2,3,4,5,6nY 可取，, a b 1,11,21,31,41,51,62,12,22,4，共个，故2,63,13,33,613 613f（2）当时，6n *112,6 113,61 115,62 117,63 119,64 1110,65knk knk knkf nknk knk knkk N证明证明：当时，枚举可得，11k 613f 714f 816f 918f，符合通式； 1020f 1121f假设时，成立，即成立，2kt *11
5、2,6 113,61 115,62 117,63 119,64 1110,65tnt tnt tntf ntnt tnt tntt N则当时，此时，此时比多出有序数对个，1kt66nt6fn f n11即多出，1,61t 1,62t 1,63t 1,64t 1,65t 1,66t 2,62t ，2,64t 2,66t 3,63t 3,66t 从而，符合通式； 6111112f nf nt另外，当，同理可证，67nt68nt69nt610nt611nt综上，即， *1112,661113,671115,6861117,691119,61011110,611tnttnttntf ntnttnttt
6、nt N即当时也成立1kt例如时，则，61nk1 6nk 111711311366nnf nk综上所述： *1112,66 117,616 118,626 119,636 1110,646 115,656nnknnknnk f nnnknkknnnk N2016 年年1.（2016 山东文 12）观察下列等式：；2224(sin)(sin)1 2333 ；22222344(sin)(sin)(sin)(sin)2 355553 ；22222364(sin)(sin)(sin)(sin)3 477773 ；22222384(sin)(sin)(sin)(sin)4 599993 照此规律，_.2
7、222232 (sin)(sin)(sin)(sin)21212121n nnnn1. 413nn 解析解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是4 3，接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是1n n，所以第n个等式右边是413nn .题型题型 144 类比推理类比推理暂无暂无题型题型 145 演绎推理演绎推理隐含在好多题目的证明过程中隐含在好多题目的证明过程中补充题型补充题型 逻辑推理逻辑推理2014 年年1.（2014 新课标文 14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，三个城市时，ABC甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；B乙说：我没去过城市；C丙说：我们三人
8、去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 .2017 年年1.（2017 全国 2 卷文 9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：“你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”根据以上信息，则（ ）.A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩1.解析解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选 D.第二节第二节 证明证明题型题型 1
9、46 综合法与分析法证明综合法与分析法证明2015 年年1.（2015 全国 II 文 24）选修 4-5：不等式选讲设 ， ， ，均为正数，且.证明：abcdabcd (1)若，则；abcd abcd(2)是的充要条件.abcdabcd 1. 分析分析（1）由，及 ，可证明 ，两边开abcdabcd 22abcd方即得；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充abcd分性和必要性.解析解析 （1）因为，22ababab22cdcdcd由题设，得，因此.abcdabcd 22abcdabcd（2）(i)若，则，即.abcd22abcd2244ababcdcd因为，所以，由（1）
10、得.abcdabcdabcd(ii)若，则，abcd 22abcd即.因为，所以，2abab2cdcdabcdabcd于是，因此.222244abababcdcdcdabcd综上，是的充要条件.abcdabcd命题意图命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2016 年年1.（2016 四川文 18（1） ）在中，角，所对的边分别是，且ABCABCabc证明：.coscossin.ABC abcsinsinsinABC1. 解析解析 根据正弦定理，可设(0)sinsinsinabck kABC，则si
11、nakA，sinbkB，sinckC.代入coscossinABC abc中，有coscossin sinsinsinABC kAkBkC，可变形得sinsinsincos+sincossin().ABABBAAB在ABC中，由ABC，有sinsin sinABCC，所以sinsinsin.ABC2.（2016 浙江文 16（1） ）在中，内角，所对的边分别为，.已知ABCABCabc.2 cosbcaB证明：.2AB2.解析解析 （1）由正弦定理得sin+sin2sincosBCAB，故2sincossinsin()sinsincoscossinABBABBABAB，于是sinsin()BA
12、B.又,0,A B，故0AB，所以()BAB或BAB，因此A（舍去）或2AB，所以2 .AB题型题型 147 反证法证明反证法证明2014 年年1. （2014 山东文 4）用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实,a b30xaxb根”时，要做的假设是（ ）.A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根30xaxb30xaxbC. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根30xaxb30xaxb2015 年年1.（2015 湖南理 16（3） ）设，且.0a 0b 11abab（1）；2ab（2）与不可能同时成立.22aa22bb1. 解析解析 证明证明： 由，得 .abba bab
13、a110, 0ba1ab（）由基本不等式及，有，即.i1ab22abab2ab () 假设与同时成立，则由及得；同理，ii22 aa22bb22 aa0a10 a，从而，与相矛盾. 故与不可能同时成立.10 b10 ab1ab22 aa22bb2016 年年1.（2016 全国甲文 16）有三张卡片，分别写有 和， 和，和. 甲，乙，丙三人各取走一121323 张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：2“我与丙的卡片上相同的数字不是 ”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数15 字是_. 1. (1,3) 解析解析 由题意得：丙不拿2 3，若丙12，则乙2 3，甲 13 ，满足；若丙 13 ，则乙2 3
