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1、教学目的及要求：深刻理解和掌握数学建模的具体步骤及 使用的数学方法和技巧。 教学内容：通过具体实例（公司人力资源安排问题）的 学习，进一步理解和掌握数学建模的具体步骤及数学方 法的使用技巧。 教学重点：通过具体示例深刻理解和掌握数学建模的具 体步骤。 教学难点：对数学建模各具体步骤之间的联系的理解和 应用。 公司人力资源安排问题某公司正经历一系列变化，这要影响到公司未来 几年的人力资源安排。由于公司装备了新机器，对不 熟练工的需求相对减少，对熟练和半熟练工的需求相 对增加；同时，预计下一年度的贸易量将下降，从而 减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年人力 需求的估计数见下表：分类不熟练工半
2、熟练工熟练工现有人数200015001000第一年需求100014001000第二年需求50020001500第三年需求025002000为此，公司希望未来三年确定（1）招工，（2 ）人员再培训，（3）解雇和超员雇用，（4）设半 日工的计划方案。因工人自动离职和其它原因，存在自然减员问题 。有不少人在受雇后干不满一年就自动离职；干满一 年后，离职的情况就减少了。考虑到这一因素，设自 然减员率如下表：分类不熟练工半熟练工熟练工工作不满一 年25 %20 %10 %工作一年以上10 %5 %5%现在没有招工。所有的现有工人都是已受雇一 年以上。招工：每年能新招的各类工人数：熟练工和不熟练工 各不超
3、过500人，半熟练工不超过800人。再培训：每年可培训200名不熟练工成为半熟练工， 每培训一名的费用开支为400元。培训半熟 练工成为熟练工，培训一名开支500元；培训人数不能超过所训岗位当时熟练工人数的四分之一。可以将工人降低熟练等级使用，这虽然不需公司支付什么费用，但这样的工人有50%将离职（这一减员要另外加到上述的自然减员上）。解雇：解雇一名不熟练工需支付他200元。解雇一名半熟练工需支付他500元。 超员雇用：全公司可超需要多雇用150人。额外费用每人每年为：不熟练工1500元；半熟练工 2000元；熟练工3000元。半日工：不熟练、半熟练和熟练工可以各有不超过50名作为半日工，完成
4、半个人的生产任务。这样 做公司对其每人每年支付费用为：不熟练工300元，半熟练工和熟练工400元。公司提出的目标为解雇人数最少。为此应如何运 作？如果目标为费用最少，能多节省多少费用？并导 出每年每类岗位所节省的费用。一、基本假设1.现在没有招工，所有的现有工人都是已受雇一年 以上。 2.所有人事变动均在年初进行。3.正在接受培训的工人不会离职。4.培训期限为一年。当年接受培训，第二年才能作为 升级后的工人使用。5.关于半日工的酬劳问题题目中只说半日工一年给予300元或者400元的报 酬。如果工人只得到这些，显然有悖常理。所以我们 认为，由于半日工的工作性质，两个半日工应该分享 一个全日工的工
5、资。也就是说一个半日工领取全日工的工资的一半。出于 一定意义上的补偿，我们另付给他一年300或400元。 这样处理也解决了我们不知道全日工工资的问题，在 处理费用最少的问题中，有很大的方便。6.超员雇用我们认为超员雇用只是公司为了赶生产，或者为 了避免解雇人数过多而采取的措施。所以我们认为超 额雇员只领取题目中所给出的那部分报酬，而不领取 全日工的工资。同时也认为超额雇员不做半日工。这 样处理，也会在处理费用最少的问题时，带来很大的 方便。二、符号说明 右下角下标1、2、3分别表示不熟练工、半熟练工、 熟练工，右上角下标表示年份；表示第j年招收第i种工人的人数；表示第k年由i种工人培训成j种工
6、人的人数；表示第j年i种工人超员雇用的人数；表示第j年i种工人半日工的人数；表示第k年由i种工人降为j种工人使用的人数；由于第三年所需的不熟练工人数为0，所以在模型中不包含两个变量。表示第j年i种工人解雇的人数。三、模型建立及求解公司每年解雇多少某一熟练程度的工人，取决于 该公司的在岗的工人数，培训后升级的人数，当年的 需求人数，自然减员的人数和降级使用的人数，另外 还有当年的超员雇用和半日工人数。以上人数均对某 一工种而言。所有的变量均为非负整数，并且要求满足题目中 所给的各种约束条件和一些自然约束。考虑到培训与工作的关系，把这个问题分脱产培 训和不脱产培训两种情况分别求解，因为是否脱产培
7、训牵涉到公司当年在岗人数等问题。2.1 不脱产培训这种情况下每年每种岗位解雇的人数为：招工人数降级人数半日工超员雇佣培训人数约束条件：每年招工人数的要求每年再培训人数要求每年超员雇用人数要求自然条件，超员雇用 人数不超过总雇用人 数，每年解雇和在岗 工人人数非负每年半日工人数的要求招工人数超员雇佣于是得到线性规划问题s.t.以上约束条件满足 目标函数值为953。求解该问题，得以下结果：2.2 脱产培训 这种情况下每年每种岗位解雇的人数为：培训人数同样得线性规划问题：s.t. 2.1中约束条件满足结果为：目标函数值约为933。3.以费用最少为目标建立规划模型按照题目中每项开支的费用，未来三年各
8、种雇用和解雇的总费用为：仍然分脱产培训和不脱产培训两和情况，约束 条件不变。解雇不熟练工解雇半熟练工和熟练工培训培训 超员 雇佣半日工3.1 不脱产培训此时将2.1中的解雇人数的表达式代入目标函 数，得到以下结果：目标函数值为508921。3.2 脱产培训此时将2.2中的解雇人数的表达式代入目标函 数，得到以下结果：目标函数值为492438。四、模型评价及改进 1.解雇人数最少的结果：从结果可以看出三年中招收的熟练工的人数为0 ，并且解雇的全是不熟练工，这是因为不熟练工的需 求是逐年减少的，而半熟练工和熟练工的需求是增加 的。每年培训的人数很多，这也是符合实际的，通过 培训可以把不熟练工变成熟
9、练工和半熟练工，从而减 少解雇的不熟练工的人数，这和优化目标是一致的。不熟练工超员雇用的人数也较多，这也是优化 目标决定的，显然通过超员雇用可以减少解雇的人 数，半熟练工和熟练工超员雇用的人数很少，这是 因为半熟练工和熟练工的人数本来就不够用，所以 不必通过超员雇用来减少解雇的人数。降级使用的人数全为0，这是因为本来不熟练工 的人数就多余，而半熟练工和熟练工的人数紧缺， 所以不可能把半熟练工和熟练工降级使用，这样只 会增加不熟练工被解雇的人数。 2.费用最少的结果：这时招入的工人较多，而培训的人数较少，这 是与优化目标相一致的，因为招募比培训花费要少 。这时超员雇用全为0，这也是很明显的，超员
10、雇 用相当于花钱养闲人，这与花费最少矛盾。半日工人数全为0，这是因为半日工比全日工的 成本要高。降级使用的人数为0，这是由于半熟练工和熟练 工的人数不能满足需求，降级使用只会增加成本。3.两种目标所得结果的对比 脱产情况减员最少 的减员人 数费用最少的减 员人数费用最少 多减员的 人数减员最少 的花费金 额费用最 少的花 费金额费用最少 少花费的 费用 第一年不熟练工425630205405000194017210983第二年不熟练工358400421515008000071500第三年不熟练工15050035033500010000023500第一年半熟练工00084626526323199
11、4第二年半熟练工00021381665789148027第三年半熟练工000000第一年熟练工000000第二年熟练工0001823680182368第三年熟练工0001823690182369总计933153059715546794924381062241不脱产情况减员最 少的减 员人数费用最少的减 员人数费用最少 多减员的 人数减员最少 的花费金 额费用最 少的花 费金额费用最少 少花费的 费用第一年不熟练工625813188445000217237227763第二年不熟练工3112773424162591158150467第三年不熟练工1641139530825082105226145第
12、一年半熟练工000726325263220000第二年半熟练工00023329065790167500第三年半熟练工000000第一年熟练工000000第二年熟练工000000第三年熟练工000000总计9521501549155467950892110457584.脱产培训和不脱产培训模型结果的对比通过比较可知，脱产培训与不脱产培训在解雇工 人的数量上和花费金额上差别都不是很大。但脱产培 训的减员人数还是要小一些。另外一方面，脱产培训 的花费比不脱产培训的花费要少一些，这主要是因为 不脱产培训解雇的人数多的缘故。5.加权后模型为了综合考虑费用（经济效益）和解雇的人数 （社会效益），可以使用加权的模型。设权值为a，由于费用的数目比解雇的人数的数 目大得多，将费用的数目除以500，将其变为相同的 数量级。模型的目标函数为：a解雇的人数+（1 a ） 所需的费用500约束条件与不加权时相同。以a0.5为例计算结果，可以看到加权的模型 的效果是很好的。此时所需费用为：578421元，要解雇的人数为 1100人。
