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1、第第 3 节节 数列的综合数列的综合题型 76 等差数列与等比数列的综合1. （2013 江苏 19）设是首项为 ，公差为的等差数列，是其前 项和. naad)0(dnSn记，其中 为实数.cnnSbn n2nc（1）若，且成等比数列，证明：（） ；0c421bbb偶偶knkSnS2,k n （2）若是等差数列，证明：. nb0c1.分析分析 （1）利用将表示出来，然后根据成等比数列，得到 与 的关, a dnb124,b b bab系，可验证；（2）先由成等差数列，得到关于 的等式，求得 的值后2 nkkSn S123,b b bcc再代入验证.解析解析 （1）由，得.0c 1 2n nSn
2、badn又因为成等比数列，所以，即，化简得124,b b b2 21 4bbb23 22daa ad因为，所以.因此，对于所有的，有.从而220.dad0d 2da*mN2 mSm a对于所有的，有.,*k nN2222 nkkSnkan k an S（2）设数列的公差是，则，即， nb1d111nbbnd1121,*nnSbnd nncN代入的表达式，整理得，对于所有的，有nS*nN.3 11111 22dd nbdad2 111ncd nc db令，则对于所有的，有1111111,22Add Bbdad Dc db*nN. （*）在（*）式中分别取得32 1AnBncd nD1,2,3,4
3、,n ，11842ABcdABcd11279364164ABcdABcd从而有111730,1950,2150,ABcdABcdABcd 由得，代入方程，得，从而，即0,5AcdB 0B 10cd 110,2dd.若，则由，得，与题设矛盾，所以11110,02bdadcd10d 1102dd0d .又因为，所以.0d 10cd 0c 2(2013 福建文 17）已知等差数列的公差，前 项和为.na1d nnS（1）若成等比数列，求；131,a a1a（2）若，求的取值范围.519Sa a1a2.分析分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的不等式求解.解析
4、解析（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即 na1d 131,a a2 1112aa ，解得.2 1120aa1112aa 或（2）因为数列的公差，且，所以，即 na1d 519Sa a2 1115108aaa，解得.2 113100aa152a 3. (2013 天津文 19）已知首项为的等比数列的前 项和为， 且3 2nan()nS n成等差数列. 234,2,4SSS（1）求数列的通项公式; na（2）证明. 13 61n nSnS3.分析分析 （1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前 项n和，根据函数的单调性证明.解析解析 （1）设等比数列的公比为.
5、 naq因为成等差数列，所以即可得23424S SS,偶324324SSSS偶4324SSSS,于是又因为所以等比数列的通项公式为432aa 偶431.2aqa 13 2a 偶 nana 1 13131.222n nn （2）1111,122nnnn nSSS 12,2211 112,12212nnnnnnn 为奇数,为数.偶当为奇数时，随的增大而减小，所以n1n nSSn1 11113. 6n nSSSS当为偶数时，随的增大而减小，所以n1n nSSn2 21125.12n nSSSS故对于有*,nN113. 6n nSS4.（2013 湖北文 19）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且n
6、Snan4S2S3S23418aaa （1）求数列的通项公式；na（2）是否存在正整数 ，使得？若存在，求出符合条件的所有 的集合；若不存n2013nS n在，说明理由4.分析分析 首先由成等差数列，且，求得和公比，进而得通423,SSS23418aaa 1aq项公式；然后根据等比数列的前项和公式列出关于的不等式，通过解不等式进而做出nn判断.解析解析 （1）设等比数列的公比为，则. naq10,0aq由题意得即解得2432234,18,SSSSaaa 232 1112 1,118,a qa qa qa qqq 13,2.aq 故数列的通项公式为. na132n na （2）由（1）有.假设存
7、在，使得，则 3 12 1212nn nS n2013nS ，即.122013n 22012n当为偶数时，上式不成立；n20n当为奇数时，即，即.n222012nn 22012n11n综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为.nn21,5n nkkkN5.（2014 天津文 5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若 na1a1nSn成等比数列，则=（ ）.124,S S S1aA. B. C. D . 22211 26.（2014 新课标文 5）等差数列的公差为，若成等比数列，则的前 na2248,a a a na项和（ ）.nnS A. B. C. D.(1)n n (1)n
8、 n (1) 2n n (1) 2n n 7.（2014 北京文 15）（本小题满分 13 分）已知是等差数列，满足， na13a 412a 数列满足，且是等比数列. nb14b 420b nnba（1）求数列和的通项公式； na nb（2）求数列的前项和. nbn7. 解析解析 （I）设等差数列的公差为，由题意得.所以 nad41123333aad.设等比数列的公比为，由题意得1131,2,naandn nnnbaq，解得.所以.从而3441120 12843baqba2q 11 112nn nnbaba q.1321,2,n nbnn（II）由（I）知.数列的前项和为，数列1321,2,n
9、 nbnn 3nn312n n的前项和为.所以数列的前项和为. 12nn1 21211 2n n nbn31212nn n评注评注 本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用.属基础题.8 （2014 湖北文 19） （本小题满分 12 分）已知等差数列满足：，且，成等比数列. na12a 1a2a5a（）求数列的通项公式； na（）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求nS nannnS60800n的最小值；若不存在，说明理由.n9.（2014 重庆文 16）（本小题满分 13 分.（I）小问 6 分， （II）小问 5 分）已知是首项为 1，公差为 2
10、 的等差数列，表示的前项和. nanS nan（I）求及；nanS（II）设是首项为 2 的等比数列，公比满足，求的通 nbq01442Sqaq nb项公式及其前项和.nnT10.（2016 北京文 15）已知是等差数列，是等比数列，且， na nb23b 39b ，.11ab144ab（1）求的通项公式； na（2）设，求数列的前项和.nnncab ncn10.解析解析 （1）等比数列 nb的公比32933bqb，所以2 11bbq，4327bb q.设等差数列 na的公差为d.因为111ab，14427ab，所以1 1327d，即2d .所以211,2,3,nann.（2）由（1）知，21
11、nan，13nnb.因此121 3nnnncabn .从而数列 nc的前n项和11 35211 33nnSn 1211 3 21 3nnn231 2n n.11.（2016 全国乙文 17）已知是公差为 3 的等差数列，数列满足 na nb.12111=3nnnnbba bbnb1，（1）求的通项公式； na（2）求的前 n 项和. nb11.解析解析 （1）由题意令11nnnna bbnb中1n ，即1 221a bbb，解得12a ，故*31nannN.（2）由（1）得1131nnnnbbnb，即11 3nnbb*nN，故 nb是以11b 为首项，1 3q 为公比的等比数列，即1 *1 3
12、nnbnN，所以 nb的前n项和为111 1313 122 313nnnS.12.（2016 四川文 19）已知数列的首项为 ，为数列的前项和， na1nS nan，其中，.11nnSqS0q *nN（1）若，成等差数列，求数列的通项公式；2a3a23+aa na（2）设双曲线的离心率为，且，求.2 2 21nyxane22e 222 12neee12.解析解析 （1）由已知，11nnSqS，211nnSqS，两式相减得到21nnaqa，1n.又由211SqS，11a 得到21aqa，故1nnaqa对所有1n都成立.所以数列 na是首项为1，公比为q的等比数列.从而1*=n naqnN.由2a
13、，3a，23aa成等差数列，可得32232=aaaa，所以32=2aa，故=2q.所以1*2nnanN.（2）由（1）可知，1n naq.所以双曲线2 2 21nyxa的离心率22(1)11n nneaq.由2 212eq，解得3q .所以222 12neee22(1)1 11+1nqq22(1)1nnqq221131 .12n nqnnq13.（2016 天津文 18）已知是等比数列，前项和为，且 nan* nSnN.6 123112,63Saaa（1）求的通项公式； na（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前*nNnb2logna21logna 21n nb项和.2n13.解析解析 （1）数列 na的公比为q，由已知有2 111112 aa qa q，解得2,1qq .又由6 1(1)631naqSq知1q ，所以6 1(12 )6312a，解得11a ，所以1*2nnanN.（2）由题意得21)2log2(log21)log(log21 21 2122 naabnn nnn，即数列nb是首项为21，公差为1的等差数列.设数列) 1(2
