《2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第7章不等式第3节基本不等式及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第7章不等式第3节基本不等式及其应用（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 3 节节 基本不等式及其应用基本不等式及其应用题型 86 利用基本不等式求函数最值1. （2013 山东文 12）设正实数，满足，则当取得最大xyz22340xxyyzxy z值时，的最大值为（ ）.212 xyzA. B. C. D. 09 829 41.分析分析 含三个参数，消元，利用基本不等式及配方法求最值., ,x y z解析解析 ，所以2234, ,zxxyyx y zR223443zxxyyxy xyxyyx.4231xy yx当且仅当，即时“=”成立，此时4xy yx2xy，222222344642zxxyyyyyy所以.222222224212xyzyyyyyy 所以当时
2、，取最大值 2.故选 C.1y 2xyz2. (2013 重庆文 7） 关于的不等式的解集为，且x22280xaxaa12xx，则 （ ）.2115xxa A. B. C. D. 5 27 215 415 22.分析分析 利用因式分解法解一元二次不等式寻求的关系式后代入求解.a解析解析 由得，即，222800xaxaa2400xaxaa24axa故原不等式的解集为.2 ,4aa由得，即，所以.故选 A.2115xx4215aa 615a 5 2a 3.（2013 四川文 13） 已知函数在时取得最小值，则 400af xxxax，3x .a 3分析分析 借助基本不等式求最值的条件求解解析解析
3、，当且仅当，即时 42 440,0aaf xxxa xaxx4axx2ax 等号成立，此时取得最小值.又由已知时，所以 f x4 a3x min4f xa，即.32a36a 4. (2013 天津文 14） 设， 则的最小值为 . ab20b 1| 2|a ab4.分析分析 分和，去掉绝对值符号，用均值不等式求解.0a 0a 解析解析 当时，0a 11 22aa abab15;4444ababa abab当，0a 1 2a ab1 24aaba abab1131.4444ba ab -综上所述，的最小值是1 2a ab3.45. （2013 辽宁文 21） （1）证明：当时，； 01x ，2s
4、in2xxx（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.3 222 cos42xaxxxx 01x ，a5.分析分析 利用构造法，分别判断与，与的大小关系；利用比较法或构造xsinx22xsinx函数，通过导数求解范围.解析解析 （1）证明：记，则， xxxF22sin 2cos2Fxx当时，在上是增函数；0,4x 0Fx xF0,4 当时，在上是减函数.,14x 0Fx xF,14 又，所以当时，即. 00 F01 F 1 , 0x 0F x 2sin2xx记，则当时，所以在上是减函 xxxHsin 1 , 0x 01cosxxH xH 1 , 0数，则,即 00H xHsin xx综上，.2
5、sin2xxx 1 , 0x（2）解法一：因为当时， 1 , 0x3 222 cos42xaxxxx3 22242 sin22xxaxxx，23 22242224xaxxxxax所以，当时，不等式对恒成立2a-3 222 cos42xaxxxx 1 , 0x下面证明，当时，不等式对不恒成立.2a2 222 cos42xaxxxx 1 , 0x因为当时，0,1x2 222 cos42xaxxxx3 22242 sin22xxaxxx23 224222xxaxxx3 222xaxx,233222223axxx xa 所以存在00,1x 021 32ax例如取和中的较小值满足，3 2 000022
6、cos402xaxxxx即当时，不等式对不恒成立.1a 3 222 cos402xaxxxx 0,1x综上，实数的取值范围是a, 2 解法二：记，则 3 22242xf xaxxx. 2322cos22 sin2xfxaxxxx记，则. G xfx 234sin22 cosGxxxxx当时，因0,1x1cos2x 此 22342Gxxx 222 20xx于是在上是减函数，因此，当时，故当 fx0,10,1x 02fxfa时，从而在上是减函数，所以，即2a 0fx f x0,1 00f xf当时，不等式对恒成立.2a3 222 cos42xaxxx0,1x下面证明，当时，不等式对不恒成立.2a
7、3 222 cos42xaxxxx0,1x当时，所以当时，76sin1 2cos12a 10f 0,1x 0fx因此在上是增函数，故； f x0,1 100ff当时，726sin2cos12aa 0fx又，故存在使，则当时， 00f 00,1x 00fx00xx，所以在上是增函数，所以当时， 00fxfx f x00,x00,xx 00f xf所以当时，不等式，对不恒成立.2a 3 222 cos42xaxxxx0,1x综上，实数的取值范围是.a, 2 6.（2014 重庆文 9）若的最小值是（ ）.42log 34logababab（），则A. B. C. D.3263273463477.（
8、2014 江苏 14）若的内角满足，则的最小值是 ABCsin2sin2sinABCcosC8.（2014 江西文 13）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当 na71adnnS时取得最大值，则的取值范围 .8nnSd9.（2014 江苏 14）若的内角满足，则的最小值是 ABCsin2sin2sinABCcosC10.（2014 江西文 13）在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当 na71adnnS时取得最大值，则的取值范围 .8nnSd11.（2014 辽宁文 16）对于，当非零实数，满足，且使0c ab22420aabbc最大时，的最小值为 .|2|ab124 abc12.（20
9、15 福建文 5）若直线过点，则的最小值等于（ 10,0xyabab 1,1ab）.A2 B3 C4 D512.解析解析 由已知可得，则.111ab112baabababab因为，所以，0a 0b 22bab a aba b故，当且仅当，即时取等号.4abba ab2ab13.（2015 山东文 14）定义运算“”：. 当22 (0)xyxyx yxyxyR，00xy，时， 的最小值为 .(2 )xyyx13.解析解析 由所给新定义运算，可知2222222yxxyxyyxxyyx.又，所以，222 22xyxy xyyx0x 0y 2222xyxyyxy xA当且仅当，即时，取等号. 故所求最
10、小值为.2xy yx2xy214.（2015 重庆文 14）设，则的最大值为 _.,0a b 5ab13ab 14.解析解析 令，则因为，1,3manb229mn2 22() 2mnmn所以故的最大值为.2()18,3 2mnmn13ab 3 215.（2016 上海文 13）设，若关于的方程组无解，则的0,0ab, x y11axyxby ab取值范围是 .15.解析解析 解法一解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件1ab ，且1ab，所以22abab.故填2,.解法二解法二：将方程组中的式化简得1yax ，代入式整理得11ab xb ，方程组无解应该满足10ab且10b，所以1a
11、b 且1b ，所以由基本不等式得22abab.故填2,.评注评注 或12abaa.16.（2017 山东文 12）若直线过点，则的最小值为 .10,0xyabab1,22ab16.解析解析 由题意，故（当且仅当121ab1242248baabababab，即时等号成立）.2121abab2,4ab17.（2017 天津文 13）若a，则的最小值为 .bR0ab 4441ab ab17.解析解析 ，44442222412 41412 444aba ba ba bab ababababab当且仅当，即时取等号.4422441aba b221 2 2 1 2ba 18.（2017 江苏 10）某公司
12、一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元 次，600x6/一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 4xx18.解析解析 一年的总运费与总存储费用之和为6003600644xxxx，2 36004240当且仅当，即时取等号故填36004xx30x 30题型 87 利用基本不等式证明不等式暂无题型 基本不等式及其应用1.（2015 湖南文 7）若实数，满足，则的最小值为（ ）.ab12abababA. B. 2 C. 2 D. 4221.解析解析 由可知. 由基本不等式可得：12abab0,0ab. 所以，解得，121 2222aba bab22abab2 2ab当且仅当时取等号，即的最小值为.故选 C.2baab2 2不等式的解法不等式的解法(蓝色的是蓝色的是 2015 年多的分类年多的分类)题型 不等式的解法1.（2015 广东文 11）不等式的解集为 （用区间表示） 2340xx1.解析解析 由，得，即，解得，2340xx
