《2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第8章立体几何-1空间几何体及其表面积和体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第8章立体几何-1空间几何体及其表面积和体积（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主 主 主 主 主 主410主 主 主 主 主 主8第八章 立体几何第 1 节 空间几何体及其表面积和体积1 .（2014 陕西理 14）观察分析下表中的数据：多面体面数()F 顶点数()V 棱数()E三棱锥 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 812猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_.,F V E1 . 解析解析 观察表中数据，并计算分别为，又其对应分别为 ，FV111214E910 ，容易观察并猜想.122FVE题型 85 空间几何体的表面积与体积1 （2013 湖北理 8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，上面两个几何体均为旋转体，
2、下面两个简1V2V3V4V单几何体均为多面体，则有：（ ）.A B 1243VVVV1324VVVVC D2134VVVV2314VVVV2 . (2013 重庆理 5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. 560 3B. 580 3 C. 200 D. 2403 .（2013 江苏 8）如图，在三棱柱中，分别是ABCCBA111FED，1AAACAB，的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则ADEF 1VABCCBA1112V.21:VV4 （2013 广东理 5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）.A B C D414 316 365 .（2014
3、山东理 13）三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥PABC,D E,PB PC的体积为，的体积为，则. DABE1VPABC2V12V V 5 . 解析解析 如图，设，到平面的距离为，到平面1ABDSS2PABSSEABD1hCEDCBAPABC1ADEF1B1C主 主 主432的距离为，则，所以.PAB2h212SS212hh11 11 3VS h2221 3VS h11 12221 4VS h VS h评注评注 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的 易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的 底面积及相应高的关系，从而造
4、成题目无法求解或求解错误.6 .（2014 福建理 13）要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器.已知该容器的34m1m底面造价是每平方米元，侧面造价是每平方米元，则该容器的最低总造价是 2010.（单位：元）6 . 解析解析 设底面的边长分别为，总造价为 元，则.xmymT144Vxyxy （4 20221 1080208020 28020 4160Txyxyxy 当且仅当时取等号）故该容器的最低总造价是元.xy1607 .（2014 新课标 2 理 18） （本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为PABCDABCDPAABCDE的中点.PD（1）证明：平面；/PBA
5、EC（2）设二面角为，求三棱锥的体积.DAEC601AP 3AD EACD8 .（2016 上海理 19）将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图所示，AAC长为2 3，A11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧（1）求三棱锥111CO AB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成角的大小OCB1A1AAPEDCB8.解析解析 （1）连结11O B，则A 111113AOABB ，所以1 11O AB为正三角形，故1 1 13 4O A BS，所以11 1 111113 312C O A BO A BVOO S（2）设点1B在下底面圆周的射影为B，
6、连结1BB，则11BBAA，所以1BBC为直线1BC与1AA所成角（或补角） ，111BBAA，连结,BC BO OC，AA 113ABAB ， A2 3AC ，所以A 3BC ，故3BOC ，因此BOC为正三角形，所以1BCBO，故1 1tan1BCBBCBB，所以145BBC，故直线1BC与1AA所成 角大小为45AA1B1CBO9 .（2016 江苏 17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱1111PABC D1111ABCDABC D的高1OO是正四棱锥的高的 倍1PO4（1）若，12 mPO ，则仓库的容
7、积是多少；6mAB （2）正四棱锥的侧棱长为6 m，则当1PO为多少时，仓库的容积最大？9 .解析解析 （1） 12 mPO ，则 18 mOO 1 1 1123 1116224 m33P A B C DABCDVSPO， 1 1 1123 168288 mABCD A B C DABCDVSOO ， 1 1 111 1 113=312 mP A B C DABCD A B C DV VV，故仓库的容积为 3312 m（2）设1POx(m)，仓库的容积为 V x，则14OOx(m)，2 1136AOx(m)，2 11236ABx(m)， 1 1 111 1 11P AB C DABCD AB
8、C DV xVV111 3ABCDABCDSPOSOO2132 363xxPABCD OO1 A1B1C1D106x， 22612Vxx 06x，当0,2 3x时， 0Vx ， V x单调递增；当2 3,6x时， 0Vx ， V x单调递减故当2 3x 时， V x取到最大值，即12 3PO (m)时，仓库的容积最大1 0 .（2016 浙江理 14）如图所示，在ABC中，2ABBC，120 .ABC若平面ABC外的点和线段上的点，满足，则四面体PBCD的体积的最大值是 .PACDPDDAPBBA10 .1 2解析解析 在ABC中，因为2,120ABBCABC，所以30BADBCA.由余弦定理
9、可得2222cosACABBCAB BCB2222222cos12012， 所以2 3AC . 设ADx，则023x，23DCx.在ABD中，由余弦定理可得2222cosBDADABAD ABA22222cos30xx22 34xx.故22 34BDxx.在PBD中，PDADx，2PBBA.由余弦定理可得2222222(2 34)3cos2222PDPBBDxxxBPDPD PBx ，所以30BPD.过点P作直线BD的垂线，垂足为O.设POd，则1 2PBDSBDd，即2112 342sin3022xxdx，解得 22 34xd xx .而BCD的面积111sin(2 3) 2sin30(2
10、3)222SCD BCBCDxx.设PO与平面ABC所成角为，则点P到平面ABC的距离sinhd.故四面体PBCD的体积211111sin(2 3)333322 34BCDBCDBCDxVShSdSdx xx 21(2 3) 62 34xxxx，DCBAP当 2时等号成立，所以我们取 2.设222 34(3)1txxx，因为023x，所以12t.则2|3|1xt.当03x时，有2331,xxt故231xt.此时， 222312 33111 41 4=666tttVtttt. 2141 ,6Vtt因为12,t所以 V t0，函数( )V t在 1,2上单调递减，故 1 41116 12V tV.
11、当323x时，有2331xxt，故231xt.此时， 22312 3311 6tt Vt21 41 4 66tttt.由上述可知，函数( )V t在(1,2单调递减，故1 41( )(1)16 12V tV.综上所述，四面体PBCD的体积的最大值为1 2.11 .（2017 江苏 6）如图所示，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下面及母线12OOO均相切记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 12OO1VO2V12VVOO1O2PEDCBA11 .解析解析 设球的半径为 ，由题意，所以故填Or2 12Vrr 3 24 3Vr123 2V V3 212 （2017 天津理 10）已知一个正方体的所
12、有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为 .1812.解析解析 设正方体的边长为 ，则.外接球直径为正方体的体对角线，所a226183aa以，.233Ra3442793382VR13.（2017 全国 1 卷理科 16）如图所示，圆形纸片的圆心为 O，半径为，该纸片上的5 cm等边三角形的中心为.，为圆上的点，ABCODEFODBCECA分别是以，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，FABBCCAABBC，为折痕折起，使得，重合，得到三棱CAABDBCECAFABDEF锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_.ABC3cmOFEDCBA13.解析解析
13、由题意，联结，交于点，如图所示，则，ODBCGODBC3 6OGBC即的长度与的长度成正比.设，则，三棱锥的高OGBCOGx2 3BCx5DGx，222225102510hDGOGxxxx212 333 32ABCSxxx则.令，21325103ABCVShxx45= 32510xx 452510f xxx50,2x，令，即，当，得 3410050fxxx 0fx4320xx2x 0fx，所以 在上单调递增，在上单调递减.故，522x f x0,252,2 280fxf则，3804 15V所以体积的最大值为.34 15cm主 主 主主 主 主主 主 主323题型 86 旋转体的表面积、体积及球面距离1.（2013 浙江理 12）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积等cm于_.2cm2 .（2013 辽宁理 13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .121412143. （2013 辽宁理 10） 已知直三棱柱的 个顶点都在球的球面上，若111-ABC ABC6O，则球的半径为（ ）.3AB 4AC ABAC112AA OA. B. C. D. 3 1722 1013 23 104 .（2014 江
