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1、第第 4 4 章章 三角函数三角函数第第 3 节节 三角恒等变换三角恒等变换题型 55 两角和与差公式的证明1.（2015 陕西文） “”是“”的（ ）.sincoscos20A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件1.解析解析 当时，sincos，22cos2cossincossincossin0即；sincoscos20当时，有，所以或cos20cossincossin0cossin0.即不能推出.故选 A.cossin0cos20sincos命题意图 考查三角函数恒等变形以及命题相关.题型 56 化简求值1.（2014 陕西文 13）设，向
2、量，02sin2cos1cos，-ab若，则_.0a btan2.（2014 江苏 15）已知，,25sin5（1）求的值；sin4（2）求的值cos263.（2014 天津文 16）（本小题满分 13 分）在中，内角所对的边分别为，已知，.ABC,A B Ccba,bca66CBsin6sin(1)求的值；Acos(2)求的值.cos 26A4.（2015 重庆文）若，则（ ）.1tan31tan()2tanA. B. C. D.1 71 65 75 64.解析解析 由两角差的正切公式知. tantan1tantan1tantan7故选 A.5.（2015 四川文）已知，则的值是_.sin2
3、cos022sincoscos5.解析解析 由题意可得，tan2 2 2 2222sincoscos2tan14 12sincoscos1sincostan14 1 6.（2015 江苏文）已知，则的值为 tan2 1tan7tan6.解析解析 解法一解法一：tantan tantan 1tantan 1273217 解法二解法二：，故tantantan1tantan2tan1 12tan7 tan3解法三解法三：，tantan tantan 1tantan 1tan7211tan7 故tan37.（2015 江苏）设向量，则cos,sincos666kkkka0,1,2,12k 的值为 11
4、+1 0kk kaa7.解析解析 解法一（强制法）解法一（强制法）：由题意得， 0cos0,sin0cos01,1a，1331,22 a2131,22 a30,1a4131,22 a，5331,22 a61, 1 a7331,22 a8131,22 a，.90, 1a10131,22 a11331,22 a 121,1a从而11+1 033 1133 13 1 222222kk kaa313 1 22133 13133 1 22222233 1 22133 13 13 13 1 222222（恰当整理化简即可）.133 13 133 1 2222229 3解法二（部分规律法）解法二（部分规律法
5、）：由题意6cos,sincos666kkkk a，从而，cos,sincos666kkkk a671kkkkaaa a即的结果呈现以为周期的变化，1kka a6T 故.11+1 0kk kaa0 11 2233 4455 62a a + aaa aa a + a a + a a9 3解法三（通用规律法）解法三（通用规律法）：由题意得：1111cos,sincoscos,sincos666666kkkkkkkkaa111coscossincossincos666666kkkkkk111coscoscoscossinsin666666kkkkkk11sincoscossin6666kkkk111
6、1coscoscossincoscossin66666666kkkkkkkk111coscossinsincoscos666666kkkkk3131coscossinsincos626262626kkkkk 313sincossin626262kkk 22113133sincoscos1 cos266226262kkkk22 3 1313sin1cos432622kk1 cos2 313133sin1432222k k，2 3 1233 3sincos43434kk，的周期为，在一个周期内其和为，sin3kycos3ky263T0故11+1 03 3129 34kk kaa解法四（部分规律法）
7、：解法四（部分规律法）：1111cos,sincoscos,sincos666666kkkkkkkkaa1111coscoscossincoscossin66666666kkkkkkkk11coscoscossin66666kkkk13coscossin26636kkk则，11111111+1 000013coscossin26636kk kkkkkkkaa设，1coscos66nnnb由诱导公式，334coscos66nnnb1sinsin66nn故，311sinsincoscos6666nnnnnnbb3cos62从而分组求和11013coscos63 3662kkk设，由诱导公式，sin
8、36nnc 33sinsin3636nnnncc 故，从而分组求和30nncc110sin036kk又，从而11033126 322k11+1 09 3kk kaa评注评注 解法一、二虽然足够复杂，但只要罗列清楚并逐步解决，就会发现其实比较简单，从一般法角度进行解决思路难寻，便可以从具体值的角度思考，这给了江苏考区的大部分普通考生以希望解法三侧重对三角公式的化简，侧重从一般的角度找到问题的突破口但解法三中化化简使用积化和差简化过程，即，但1coscos66kk1coscos=66kk21cos+cos66 2k 高中阶段该公式已不要求掌握，因此此题顺利化简确实也比较麻烦解法四在解法三的基础之上
9、进行了优化，不化到最简形式也可解决问题也有学生考虑构造cos,sincos666kkkkacos,sin+66kk 0,cos6k，则和都是单位向量且夹角为，即+kkbckb+1kb6 +13 2kkbb8.（2015 广东文）已知tan2（1）求的值；tan4（2）求的值2sin2 sinsincoscos21 8.解析解析 （1）.tantantan12 14tan341tan121tantan4 （2）2sin2 sinsincoscos21 222sincos sinsincos2cos11 .222sincos sinsincos2cos 22tan tantan2 222 2221
10、9.（2017 全国 3 文 4）已知，则=（ ）.4sincos3sin2A B C D7 92 92 97 99.解析解析 .216167(sincos)12sincos1 sin2sin21999 ，故选 A.评注评注 考点为三角函数的恒等变换，有一定难度，关键在于对正弦二倍角公式的运用.失分的原因在于解题的思路是否清晰以及计算错误.10.（2017 山东文 4）已知，则（ ）.3cos4x cos2x A. B. C. D. 1 41 41 81 810.解析解析 .故选 D.291cos22cos121168xx 11.（2017 全国 1 文 15）已知，则 .0,2tan2cos
11、411.解析解析 由.又， 所以 .tan2 ,sin2cos得22sincos121cos5因为，所以，.0,25cos52 5sin5所以. coscoscossinsin444522 523 10 52521012.（2017 江苏 5）若，则 1tan46tan12.12.解析解析 解法一（角的关系）：解法一（角的关系）：故填tantan447tan1746 551tan647 5解法二（直接化简）：解法二（直接化简）：，所以故填tan11tan41tan67tan57 5题型 57 三角函数综合1.(2013 广东文 16） 已知函数，( )2cos12f xxxR(1) 求的值； 3f(2) 若，
