工程数学3-1随机事件

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1、 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约 定赌若干局, 且谁先赢 5 局便算赢家, 若在一赌徒 胜 4 局 ,另一赌徒胜3局时便终止赌博,问应如何分 赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨 论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.概率论的诞生及应用1. 概率论(Probability: The Science of Uncertainty )的诞生概率统计理论与方法的应用几乎遍及所科 学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部 门中，是从事经济管理工作的必不可少的工具 。2. 概率论的应用“ 生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只 是概率的问题.”

2、法国数学家拉普拉斯在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象 “同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例一、随机事件3.1.2 事件的概率这类现象在一定条件下具有多种可能的结果， 但是事先无法确定哪种结果。实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.2. 随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面.结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或 6.实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:正品 、次品.实例 出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例 明天的天气可能是晴 , 也

3、可能是多云或雨.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性 , 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一 定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种 本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.二、随机试验1. (可重复性) 可以在相同的条件下重复地进行;2. (可观察性) 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3. (不确定性) 试验之前不能确定哪一个结果会出现.在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验，常用字母E表示。定义2. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.3. 从一批产品中,依次任选三件,记

4、 录出现正品与次品的件数.判断下列试验是否为随机试验.4. 从一大批灯泡中任取一只,测试其寿命. 1. 掷一枚硬币，观察正反面出现的情况.三、样本空间 样本点 样本空间 随机试验 E 的所有可能结果样本点 试验E 的每一个结果实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.实例 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.实例 记录某城市120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.答案写出下列随机试验的样本空间.1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.练随机事件 样本点自身或若干个样本点组成的 集合简称

5、事件.通常用字母A,B,C 等表示。实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.四、随机事件的概念试验中,骰子出现1点,出现6点, 点数不大于6, 点数为偶数等都是随机事件.实例 出现1点, 出现6点都是基本事件。基本事件 仅含有一个样本点的事件。实例 上述试验中 点数不大于6就是必然事件.必然事件 在一定条件下，必然发生的事件。不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 点数大于6 就是不可能事件.样本空间，样本点与随机事件的关系样本点样本空间子集随机事件元素随机事件基本事件必然事件不可能事件1. 包含关系若事件 A 发生, 必然导致 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A,记作

6、B 包含 A. BA五、随机事件间的关系及运算事件事件之间的关系与事件的运算集合集合之间的关系与集合的运算2. A等于B 若事件A 包含事件B， 而且事件B 包 含事件A，则称事件A 与事件B 相等，记作 A=B.3. 事件 的和（并）例 掷一颗骰子,A=点数小于3和B=点数为1或2两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或 B”，称为A与B的和。记作A B.例 产品不合格与长度不合格的关系.SBA例 A=出现偶数点和B=点数24. 事件的积 (交)事件A和B同时发生，称为事件A和事件B之积(交).记作: AB或 .SABAB例 A=出现偶数点 和B=点数25. 事件 A 与 B 互不相容 (互

7、斥)若事件A和事件B不能同时发生，则称事件 A 与B互不相容, 即图示 A 与 B 互斥.SAB“出现1点” “出现2点”互斥实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 实例 抛掷一枚硬币, “正面向上” 与 “反面向上”是互不相容的两个事件.BA6. 对立事件例 A=“出现偶数点” 和B=“出现奇数点”对立事件与互斥事件的区别ABABA、B 对立A、B 互斥互 斥对 立7. 事件 A 与 B 的差由“事件 A 发生而B 不发生”所组成的事件称为事 件 A 与 B 的差. 记作 A- B.图示 A 与 B 的差.SABSAB例 A=“出现偶数点”和B=“出现点数2”例1 设A,B,C 表示三个随

8、机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.(1) A 出现 , B, C 不出现;(5) 三个事件都不出现;(2) A, B都出现, C 不出现;(3) 三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现;(6) 不多于一个事件出现;(7) 不多于两个事件出现;(8) 三个事件至少有两个出现;(9) A, B 至少有一个出现, C 不出现;(10) A, B, C 中恰好有两个出现.解三、随机事件间的运算规律P114 例5 求证P114 例6 设A,B,C是三个随机事件，求证课堂练习口袋里装有若干个黑球与若干个白球， 每次任取一个球，共抽取两次，设事件A表示第一 次取到黑球，事件B表示第二次取

9、到黑球，问： (1)和事件A+B表示什么？ (2)积事件AB表示什么？ (3)积事件 表示什么？(5)第一次取到白球且第二次取到黑球如何表示？(4)对立事件 表示什么？(6)两次都取到白球如何表示？ (7)两次取到球的颜色不一致如何表示？ (8)两次取到球的颜色一致如何表示？设事件A=甲种产品畅销, 乙种产品滞销, 则A的对立事件为 ( ).(A)甲种产品滞销,乙种产品畅销;(B)甲、乙种产品均滞销;(C)甲、乙两种产品均畅销;(D)甲种产品滞销或者乙种产品畅销.课堂练习一、概率的统计定义三、概率的公理化定义3.1.2 事件的概率二、概率的古典定义通常，我们认为概率是事件出现的可能性 大小。如

10、果事件一定出现，则它的概率为1；如果事件肯定不出现，则它的概率为0。一次投掷硬币掷出正面的可能性大小是？方法一：根据对称性。方法二：反复做试验，统计频率。试验 序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 422 252125241827251 249256247251 262 2580.4 0.60.21.00.20.4 0.80.44 0.500.420.480.36 0.540.502 0.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做7 遍, 观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大, 频率 f 呈现出

11、稳定性一、概率的统计定义从上述数据可得抛硬币次数 n 较小时, 频率的随机波动幅度较大, 但随着n 的增大 , 频率呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.实验者德 摩根 蒲 丰204810610.5181 404020480.5069 1200060190.5016 24000120120.5005概率的统计定义当试验次数 n 较小时频率波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时，频率趋于稳定值p，则称p为事件A发 生的概率记作P(A)，即P(A)=p.注 概率完全由事件本身决定，是客观存在的。在许 多实际问题中，往往采用在大量重复试验中事件发 生的频

12、率作为概率近似值。若随机试验满足下面两个条件，称为 古典概型的随机现象。二、概率古典定义（等概性）每个基本事件发生的可能性相同;（有限性）所有可能的试验结果（基本事件） 只有有限个;1.古典概型定义2、概率的古典定义在古典概型中, 如果某个事件A包含n个样本点中的m 个，则称m/n为事件A的概率，记为3. 古典概率的计算例1 摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编 号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2 ）取后放回，求第5次取到1号球的概率。古典概型之一：摸球模型u基本事件总数例1 摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编 号为1,2,8

13、，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2 ）取后放回，求第5次取到1号球的概率。u所求事件中包含的基本事件总数例1 摸球模型：设袋中有8个相同的球，上面依次编 号为1,2,8，每次从袋中任取一球，求：（1）取后不放回，求第5次取到1号球的概率；（2 ）取后放回，求第5次取到1号球的概率。u基本事件总数u所求事件中包含的基本事件总数古典概型之二：取次品模型有10件产品，其中3件次品，无放回地取出3件，求 ：（1）这三件产品全是正品的概率；（2）这三件产品恰有2件次品的概率；（3）这三件产品至少有一件次品的概率。u(1)基本事件总数u所求事件中包含的基本事件总数u

14、(2)基本事件总数u所求事件中包含的基本事件总数“至少”一类的问题都可以转化为先求对立事件。u(3)u所求事件与(1)中事件互为对立事件古典概型之三：生日问题模型某班有n个学生，设一年365天,则至少有两人生日相同的概率是多少?至少有两人生日相同的概率为 N1020233040500.120.410.510.710.890.97每个人生日都不相同的概率为 古典概率模型之四：抽签问题（抽签的公平性）10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A=第五个抽签的学生抽到入场券的概率。u基本事件总数uA事件中包含的 基本事件总数第五个学生抽到 入场券

15、另外9个学生抽 取剩下9张思考：鞋子配对问题模型从5双不同的鞋子中任取4只，求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率。三、概率的公理化定义及其基本性质定义 设设E是随机试验试验 , 其样本空间为 , 对对于E的每一若满足下列三个条件: 1. 对对每一个事件A ,有 3.若 是两两互不相容的事件，个事件A赋予一个实数,记为P(A),则则称为为事件A的概率.则有概率的性质解SABAB3.1.3 条件概率与事件的独立性一、条件概率二、全概公式三、事件的独立性10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，现有10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.A=第1个抽签的学生抽到入场券B=第2个抽签的学生抽到入场券若A已发生,则B发生的概率为:若A不发生,则B发生的概率为: 以上事件B发生的概率有什么不同的意义?条件概率一、 条件概率在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加 条件下求事件的概率. 如在事件A发发生的条件下,求事件B发发生的概率，由 于增加了新的条件：“事件A已发发生”，所以称之为为 条件概率，记记作抛掷一枚硬币两次，观察正反面出现情况，此随机 试验的样本空间为：正正，正反，反正，反反B=正正，正反，反正A=正正，反反引