第二章 测量误差及数据处理

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1、第2章误差的基本理论分析本章主要内容1 测量误差的基本概念2 表达误差的几种形式 3 误差的性质和分类 4 有效数字 5 系统误差的矫正6 随机误差的统计学原理7 粗大误差的剔除8 误差的合成9 数据的一元线性回归分析10 测量结果的表达形式测量误差的基本概念基本名词真值（True Value） ：被测量本身客观存在的实际值。 真值是客观存在，但是不能测量的。 计量和测量中，经常使用“理论真值”、“约定 真值”和“相对真值”的概念。理论真值 ：理论上存在、计算推导出来。如：三角形内角和180约定真值 ：按照国际公认的单位定义，利用科学技术发展的最高 水平所复现的单位基准。一般以法律形式规定的。

2、 如：国际千克基准相对真值 ：在满足规定准确度时用来代替真值使用的值。 利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值 标准仪器的测量标准误差5 项可忽略用于数字仪表，n个字表示仪表末位数字代 表测量值的n倍（分辨力的n倍）某四位半数字电压表，量程为2V，工作误差为= 0.025%UX 1个字， 用该表测量时，读数分别为0.0012V和1.9888V，试求两种情况下的绝对 误差和相对误差。解：四位半表 分辨率为0.0001V1.9999【例】测量误差的分类 1 系统误差(Systematic Error) 2 随机误差( random error )3 粗大误差(Gloss Error)

3、根据测量误差的性质，测量误差可分为3类：系统误差在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的 绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规 律变化的误差，称为系统误差，简称系差。定义：来源： 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得 结果的平均值与被测量的真值之差，简称系差。 定量定义：基本误差:测量设备不准确或准确度等级不高。附加误差:超过正常工作范围带来的误差。理论误差（方法误差）:测量方法、理论不完善所带来的误差 。人员误差：试验人员疏忽大意、测量素质不高产生的人员误 差。系统误差特征系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程 度。系差越小，测量就越准确。大小、方

4、向恒定不变或按一定规律变化可再现，可以预测用理论分析、实验验证查找原因 可修正测量值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测 量结果的平均值之差。定义定量定义：在相同测量条件下,多次测量同一量值时（等精度测量），绝 对值大小和符号以不可预定方式变化的误差，又称为偶然误 差，简称随差。 来源：测量装置本身因素；信号处理电路的随机噪声等实验环境的偶然性微小变化：温度波动、噪声干扰、电 磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动，热起伏、 空气扰动、大地微震等人为因素：人员测量人员感官等（对测量值影响微小但却互不相关的大量因素）随机误差例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得 到 1.235V，1.

5、237V，1.234V，1.236V， 1.235V，1.237V。在测量中，随机误差是不可避免的。 n单次测量的随差没有规律，随机误差的大小 、方向均随机不定，不可预见，不可修正; n多次测量，测量值和随机误差的总体服从概 率统计规律; n可用概率统计的方法处理测量数据，对随机 误差的总体大小及分布做出估计，并采取适 当措施减小随机误差对测量结果的影响。随机误差特征随机误差和系统误差特性系统误差越小，则测量值与实际值符合的程度越高。 随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在某一 常数（平均值）附近。 测量准确度高意味着系统误差和随机误差都小。射击误差 示意图 粗大误差指明显超出统计规律

6、预期值的误差。又称为疏 忽误差、过失误差或简称粗差。 定义：来源：某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按 规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、 雷电干扰、机械冲击和振动等）。注意：由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定 的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异 常值）予以剔除。有效数字有效数字基本概念 定义1：考虑了误差以后有意义的数字称为有效数字。 定义2：由数字组成的一个数，除最末一位数字是不确切或 可疑值外，其它数字均为确切值，则该数的所有数字称为有效 数字测量结

7、果保留有效位数的原则：最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。数字舍入规则 计算和测量过程中，需要对多位的近似数进行取舍，应 按照下述原则进行舍入处理：1. 大于5进一：若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单 位，则末位数加1。2. 小于5舍去：若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单 位，则末位数减1。3. 等于5应用偶数法则：若舍去部分的数值等于保留部分末位 的半个单位，当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数 时则末位加1。数据记录、运算的准确性要和测 量的准确性相适应！ 误差一般只取一位有效数字（特殊情况下 最多取两位有效数字），测量结果的末位 数应与误差的末位数对齐 有效数

8、字:所有准确数字和一位欠准确数字 数学： 物理测量： 0 01 12 23 34 4(a)(a)分度值分度值1 1mmmm L L= =3.23.23 3cmcm三位三位0 01 12 23 34 4( (b)b)分度值分度值1 1cmcmL L= =3. 3.2 2cmcm二位二位有效数字位数越多，测量精度越高系统误差的削弱和消除系统误差的特征和分类在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符 号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。1）消除系统误差产生的原因2）引入修正值进行校正(最适合测量仪表使用者)3）利用特殊的测量方法消除系统误差的削弱或消除的方法最理想最基本 的方

9、法1)从产生系统误差的来源上消除基本误差：选择准确度等级高的仪器设备；所用量具 仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，检定证 书是否在有效期内；附加误差：使仪器设备工作在其规定的工作条件下， 如温度、振动、尘污、气流等；使用前正确调零、预 热以消除仪器设备的附加误差；方法误差和理论误差：所采用的测量方法和计算方法 是否正确，有无理论误差；选择合理的测量方法，设 计正确的测量步骤；人员误差：提高测量人员的测量素质，改善测量条件( 选用智能化、数字化仪器仪表等)。注意避免测量人员 带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等方法：预预先将测测量器具的系统误统误 差检检定出来或计计算出来，取与 误

10、误差大小相同而符号相反的值值作为为修正值值，将测测得值值加上相 应应的修正值值，即可得到不包含该该系统误统误 差的测测量结结果。修正值误差=（测量值真值）实际值（A）测量值（Ax）修正值（C）2）用修正方法减少系统误差注意：在某些自动测量系统中，预先将更正值储存于计算机的内存中，这 样可对测量结果中的系统误差自动进行修正。修正值C 由计量部门检定时给出 修正值的获取方法1）仪表的检定证书给出。2）通过理论推导求取。【例】电流表测电流不计电流表内阻：计及电流表内阻：则：修正值：ERab +IARA被测等效电路修正值的获取方法3）通过试验求取。 通过实验获得修正表格、修正曲线、修正公式 - 按规律

11、校正对不断变化的系统误差：对有规律的系统误差： 现测现修 （如零点误差、增益误差等）（如温度、湿度、频率修正等）注意1： 由于修正值本身也包含有一定的误差，因此用这种 方法不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量的系统误差 。注意2：由于这些残留的系统误差相对随机误差而言已不明显了，往往可以把它们统归成偶然误差来处理。 消除系统误差的几种主要测量方法：替代法交换法差值法 对称测量法 正负误差补偿法迭代自校法3）采用特殊的测量方法替代法替代法主要用于消除定值系统误差， 操作方法：在测量条件不变的情况下，用一已知的标准 量去替代未知的被测量，通过调整标准量而保持替代前 后仪器的示值不变，结果标准量

12、的值等于被测量值。 测量某未知电阻R，要求误差小于0.1%。1）首先将它接入一个电桥中(如图)，该电桥的误差为1%。调整桥臂电阻R1、R2 使电桥平衡；2）取下 Rx ，换上标准电阻箱 R5 (电阻箱为0.1级)。3）保持R1 、R2 不动，调节 R5 的大小，使电桥再次平衡，此时被测电阻 Rx=R5 。只要测量灵敏度足够，根据这种方法测量Rx 的准确度与标准电阻箱的准确度相当，而与检流计G 和电阻R1 、R2的恒值误差无关，因此可以满足测量要求【例】电桥法测电阻通过交换被测量和标准量的位置，从前后两次换位 测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。 特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交

13、换法可检查其对称性是否良好。第一次平衡 第二次平衡 上两式相乘、开方得：交换法例：在电桥中采用交换法测电阻交换法随机误差的处理 测测量误误差的数学表达 根据误误差理论论，任何一次测测量中，一般都含有系统误统误 差和 随机误误差，即 A=+=Ax-A0在一般工程测测量中，系统误统误 差远远大于随机误误差，即， 相对对来讲讲随机误误差可以忽略不计计，此时时只需处处理和估计计系统统 误误差即可。在精密测测量中，系统误统误 差已经经消除或小得可以忽略不计时计时 ， 即0。只需处处理随机误误差。 无系差等精度测量：不考虑系统误差，各种测量因素都相同 的测量。随机误差统计特性随机误差就个体而言并无规律可循

14、，但其总体却服从统 计规律，总的来说随机误差具有下列特性：(1)有界性(2)单峰性(3)对称性(4) 抵偿性0 0概率分布密度函数设随机变量x的值位于-与x之间的概率是x的函数F(x)：则称F(x)为x的概率分布函数；称f(x)为为x的概率分布密度函数 ；为x在x1,x2之间的概率。式中 和2随机误差的标准差和方差随机误差的正态分布实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律，其 概率密度函数为：测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许 多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量 独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只 起微小作用，则可认为这个随机变

15、量服从正态分布。为什么测量数据和随机误 差大多接近正态分布？随机误差的非正态分布常见的非正态分布：均匀分布t分布三角分布反正弦分布特点：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在 该区域外随机误差出现的概率为零。均匀分布的概率密度函数()为：式中 a随机误差的极限值。 仪器度盘刻度差引起的误差； 仪器最小分辨率限制引起的误 差 数字仪表的量化(1)误差 数字计算中的舍入误差 对于一些只知道误差出现的大 致范围，而不知其分布规律的误 差，在处理时经常按均匀分布的 误差对待。 均匀分布特点：主要用来处理小样本(即测量数据比较少)的测量数据。 (正态分布理论只适合于大样本的测量数据)t分布的概率密度函数(t)为 ： 和标准正态分布的图形类似； 特点是分布与标准差的估计值 无关，但与自由度(n-1)有关； 当n较大(n30)时，t分布和正 态分布的差异就很小了，当 n时，两者就完全相同了。t分布（学生分布）（自由度）随机变量的数字特征测量次数随机变量数学期望:测量数据的 数学期望被测量的真 值无数多次测 量的平均值随机误差补偿特性:由得被测量量值数学期望: 体现随机变量的分布中心，反映其平均特性。随机变量的数字特征方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量A的数学期望为M(A)，则A的方差定义为：物理意义：数据信号偏离期望值的程度，也是信号能量的一种表示。