自动控制系统的时域分析

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1、第三章自动控制系统的时域分析本章要点掌握线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算。掌握系统稳定的充分必要条件，Routh判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型号。掌握高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶。主要内容3.1 自动控制系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的阶跃响应 3.3 二阶系统的阶跃响应 3.4 高阶系统的动态响应 3.5 自动控制系统的代数稳定判据 3.6 稳态误差 v小 结对于一个实际系统其输入信号往往是比较复杂的,而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此,在研究自动控制系 统的响应时,往往选择一些典型输入信号,并且以最不利的信号 作为系统的输入信

2、号,分析系统在此输入信号下所得到的输出 响应是否满足要求。估计系统在比较复杂信号作用下的性能指 标。 一、自动控制系统的典型输入信号3.1 自动控制系统的时域指标1.阶跃函数 A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。2 斜坡函数（速度函数） A=1时斜坡函数称作单位斜坡函数。3. 抛物线函数（加速度函数）当A=1时，称为单位抛物线函数。4.脉冲函数 面积A表示脉冲函数的强度。 的脉冲函数称为单位脉冲函数，记作 ，即 5.正弦函数 。 式中A为振幅，为角频率，正弦函数为周期函数当正弦 信号作用于线性系统时，系统的稳态分量是和输入信号同 频率的正弦信号，仅仅是幅值和初相位不同。根据系统对 不同

3、频率正弦输入信号的稳态响应，可以得到系统性能的 全部信息。 动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输 出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称过渡 过程、暂态过程。 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间 t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。表征系统输 出量最终复现输入量的程度. 二、 动态过程和稳态过程三、动态性能指标和稳态性能指标ptr0.5xc(t)tdtp01tst稳态误差1. 延迟时间td：响应 曲线第一次达到其终值 一半所需时间。2. 上升时间tr：响应 从终值10%上升到终值 90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次 上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的

4、度量。3. 峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时 间。 ptr0.5xc(t)tdtp01tst稳态误差稳态性能：由稳态误差ess描述。 稳态误差：若时间趋于无穷时,系统的输出量不等于输入量 或输入量的确定函数,则系统存在稳态误差.4. 调节时间ts(过渡时间)：响应到达并保持在终值内(2% 或5%)所需时间。 5. 超调量：响应的最大偏离量h(tp)与终值h()之差的 百分比，即v常用tr ts标志动态过程的快速性, 标志动态过程的稳态性3.2 一阶系统的阶跃响应 一、数学模型 能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。如RC电路 :微分方程：传递函数：结构图：R i(t)CR(s

5、)C(s)E(s) (-)1/Ts二、 单位阶跃响应 当r(t)=1(t)时，一阶系统的输出c(t)称为单位阶跃响应，记作h(t)。特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T；3）无超调；稳态误差ess=0 。j0P=-1/TS平面(a) 零极点分布xc(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为1/T xc(t)=1-e-t/T0tT2T3T4T1(b) 单位阶跃响应曲线性能指标：延迟时间：td=0.69T上升时间：tr=2.20T调节时间：ts=3T (=0.05) 或 ts=4T (=0.02) 传递函数 结构图以位置控制系统为例，R(s)C(s)

6、(-)其中： n n自然频率；阻尼比。一、二阶系统的数学模型微分方程 3.3 二阶系统的阶跃响应标准形式二、二阶系统的阶跃响应 特征根决定了系统的响应形式。其输出的拉氏变换为二阶系统特征方程根进一步的描述如下图：(a) 闭环极点分布j1122334505(b) 单位阶跃 响应曲线1.2 1.01.6 1.40.8 0.6 0.4 0.2c(t)16182 4 6 8 1012140t2 1 35 4具有两个特征根均位于右半平面，由于此时的系统是 不稳定的，故不予研究1. 1. 1 过阻尼过阻尼二阶系统系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，无稳 态误差。系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳

7、态误差。阶跃响应：0123456789101112 ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图： =00.1 0.2 0.30.4 0.5 0.6 0.7 0.81.0 2.0三、欠阻尼二阶系统的动态性能指标阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1. 动态性能指标计算上升时间 tr单位阶跃响应单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。 峰值时间 tp 由 得单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。 超调量 % 由单位阶跃响应进入 误差带的最小时间。 调节时间 ts 有 根据定义 因 则欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：

8、(=5%)（=2%时） 阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节 时间ts长； 过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速 性差； =0.707，调节时间最短，快速性最好，而超调量 %0的情况下，上述行列式的各阶主子式i均大于 零，即 例3-5 系统的特征方程为列出行列式 由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是： 或写成系统稳 定的充分必要条件为a00 a10 a20 a30a1a2-a0a30例3-6 二阶系统的特征方程为列出行列式 由Hurwitz判据，系统稳定的充分必要条件为a00 a10 a1a20即二阶系统稳定的充分必要条件是特征方程式的所有系数均大于零。 五、系统参数对稳定性

9、的影响 应用代数判据不仅可以判断系统的稳定性，还可以用 来分析系统参数对系统稳定性的影响。 例3-7 系统结构图如图所示， 试确定系统稳定时K的取值范围 解 系统的闭环传递函数 其特征方程式为 列劳斯表 按劳斯判据，要使系统稳定，应有K0，且30-K0，故K 的取值范围为0K30六、相对稳定性和稳定裕量 相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚 轴 有一定的距离，称之为稳定裕量。为了能应用上述的代数判据，通常将s平面的虚轴左移 一 个距离，得新的复平面s1，即令s1=s+或s=s1-得到以 s1 为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代数判据判别新特 征 方程式的稳定性，若新特征方

10、程式的所有根均在s1平面的 左 半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于- 的左侧，称为系统的稳定裕量。 3.6 稳态误差 一、一、 误差及稳态误差的定义误差及稳态误差的定义 对于所示的反馈控制系统，常用的误差定义有两种 1. 输入端定义2. 输出端定义 当反馈为单位反馈时，即H(s)=1时，上述两种定义可统 一为误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含暂态 分 量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着 时 间的推移逐渐消失，而我们主要关心的是控制系统平稳以 后 的误差，即系统误差响应的稳态分量稳态误差记为ess 。定义稳态误差为稳定系统误差响应e(t)的终值。当

11、时 间t 趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为二、 终值定理求稳态误差E(s)的求法对给定而言对扰动而言同时作用 由拉普拉斯变换的终值定理计算稳态误差，则代入E(s)表达式得 从上式得出两点结论： 1. 稳态误差与系统输入信号r(t)的形式有关； 2. 稳态误差与系统的结构及参数有关。例3-8 系统结构图如图所示，当输入r(t)=4t时，求 系统的稳态误差ess。 解： 系统只有在稳定的条件 下计算稳态误差才有意义， 所以应先判别系统的稳定性。 系统的特征方程为列劳斯表 由劳斯判据知，系统稳定条件为 系统的误差函数为 由终值定理求得稳态误差计算表明，稳定误差的大小与系统的放大倍数K有关

12、。即K 越大，稳定误差ess越小。要减小稳态误差则应增大倍数K， 耳闻定性分析却得出，使系统稳定的K只应小于5/4，表明 系统的稳态精度和稳态性对放大倍数的要求常是矛盾的。三、给定稳态误差和稳态误差系数有两个因素决定给定稳态误差，开环传递函数和给定 量。系统的开环传递函数可表示为 系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数来 分类。把=0，1，2，的系统，分别称为0型，型，型，系统。 1. 静态位置误差系数Kp 当系统的输入为单位阶跃信号r(t)=1(t)时，有其中 ，定义为系统静态位置误差系数 。对于0型系统对于型或高于型以上系统 2. 静态速度误差系数Kv当系统的输入为单位斜坡信号时r(t

13、)=t1(t)，即 则有 其中 ，定义为系统静态速度误差系数 。 对于0型系统 对于型系统 对于型或型以上系统 3. 静态加速度误差系数Ka 当系统输入为单位加速度信号时，即 则系统稳态误差为其中， ，定义为系统静态加速度误 差系数。对于0型系统，Ka=0，ess=；对于型系统，Ka=0，ess=；对于型系统，Ka=K，；对于型或型以上系统，Ka=，ess=0 。 例3-9 系统结构如图所示，求当输入信号r(t)=2t+t2时， 系 统的稳态误差ess。首先,判别系统的稳定 性。由开环传递函数 知，闭环特征方程为根据劳斯判据知闭环系统稳定。第二步，求稳态误差ess，因为系统为型系统，根据线性

14、系统的奇次性和叠加性，有 故系统的稳态误差 ess=ess1+ess2=0.1。四、 减小稳态误差的方法 从上面稳态误差分析可知，采用以下途径来改善系统的 稳 态精度： 提高系统的型号或增大系统的开环增益，可以保证系统 对 给定信号的跟踪能力。但同时带来系统稳定性变差，甚至 导 致系统不稳定。 增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益或 积 分环节的个数，可以降低扰动信号引起的稳态误差。但同 样 也有稳定性问题。 采用复合控制，即将反馈控制与扰动信号的前馈或与给 定 信号的顺馈相结合。减小和消除误差的方法(1,2) 1 按扰动的全补偿N(s ) R(s)Gn(s)T1s+1k1 s(T2

15、s+1)k2C(s )E(s )令R(s)=0,En(s) = -C(s) =s (T1s+1)(T2s+1)+ k1k2(T1s+1)+ k1Gn(s)N(s)令分子=0，得Gn(s) = - (T1s+1)/k1这就是按扰动的全补偿全t从0全过程各种干扰信号2 按扰动的稳态补偿设系统稳定，N(s)=1/s ,则essn= limsC(s) =lims0s0k1k21+ k1Gn(s)Gn(s)= -1/k1减小和消除误差的方法(3,4)令N(s)=0, Er(s)=令分子=0，得Gr(s)= s (T2s+1)/ k23 按输入的全补偿N(s ) R(s)Gr(s)T1s+1k1 s(T2s+1)k2C(s )E(s)设系统稳定，R(s)= 1/s2 则essr= limsEr(s)= lims0s01-k2 SGr(s)k1k2k2SGr(s)=4 按输入的稳态补偿s (T1s+1)(T2s+1) s (T1s+1)(T2s+1) + k1k2- k2 (T1s+1)Gr(s)R(s)1.线性定常二阶系统在欠阻尼条件下的时域响应及动态性能指标的计算2.用Routh判据是判定系统稳定性的重要代数判据，稳定的充分必要条件是劳斯表中第一列系数大于零，注意两种特殊情况时劳斯表的计算3.稳态误差的定义，求取给定静态和稳态误差