《定积分与微积分基本定理-函数与导数 2011高考一轮数学精品课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分与微积分基本定理-函数与导数 2011高考一轮数学精品课件（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案13 13 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理返回目录 1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 、 、 、 .取极限 分割 近似代替 求和 返回目录 2.定积分的定义如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xn=b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式 .当n+时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x) 在区间a,b上的定积分, 记 作 , 即 = ,其中f(x)叫做 ,x叫做 ,f(x)dx叫做 ,区间a,b叫做 ,a叫做 ,b叫做 ,“”称为积分号.
2、积分上限 被积函数 积分变量 被积式 积分区间 积分下限 返回目录 3. 的实质(1)当f(x)在区间a,b上大于0时, 表示由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的 .这也是定积分 的几何意义.(2)当f(x)在区间a,b上小于0时, 表示由直线x=a, x=b (ab), y=0和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的 .面积的相反数面积 (3)当f(x)在区间a,b上有正有负时, 表示介于x=a,x=b(ab)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.4.定积分的运算性质(1) = .(2) = .(3) = .返回目录 返回目录 5.微积分基本定理一
3、般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么 =F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.F(b)-F(a)记为F(x) .即 =F(x) =F(b)-F(a).6.利用微积分基本定理求定积分的关键是 可将基本初等函数的导数公式逆向使用.求被积 函数的原函数 返回目录 考点一考点一 利用微积分定理求定积分利用微积分定理求定积分 计算下列定积分:(1) x(x+1)dx;(2) (e2x+ )dx;(3) sin2xdx.【分析分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进行求解,计算 f(x)dx的关键是找到满足F(x)=
4、f(x)的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.返回目录 【解析解析】 (1)x(x+1)=x2+x且( x3)=x2,( x2)=x, x(x+1)dx= (x2+x)dx= x2dx+ xdx= =( 23-0)+( 22-0)= .返回目录 (2)(lnx)= ,(e2x)=e2x(2x)=2e2x,得e2x=( e2x),所以 (e2x+ )dx= e2xdx+ dx= e2x +lnx = e4- e2+ln2-ln1= e4- e2+ln2.(3)由(sin2x)=cos2x(2x)=2cos2x,得cos2x=( sin2x),所以 sin2xdx=
5、( - cos2x)dx = dx- cos2xdx= x - ( sin2x)= ( -0) - ( sin2- sin0)= .返回目录 返回目录 【评析评析】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.返回目录 对应演练对应演练求下列定积分:(1) (2x-3x2)dx;(2) sin2 dx;(3) (x+ )dx.(1) (2x-3x2)dx= 2
6、xdx- 3x2dx=x2 -x3 =-18.(2) sin2 dx= dx= dx- cosxdx= x - sinx= .返回目录 (3) ( x+ )dx= xdx+ dx= x2 +lnx = +ln2.返回目录 返回目录 考点二考点二 分段函数的定积分分段函数的定积分 计算下列定积分:(1) |sinx|dx; (2) |x2-1|dx.【分析分析】对于第(1)小题,应对在区间0,2上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0x2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论.【解析解析】 (1)(-cosx)=sinx, |sinx|dx= |sinx|dx+ |sinx|dx=
7、sinxdx- sinxdx=-cosx +cosx=-(cos-cos0)+(cos2-cos)=4.返回目录 (2)0x2,x2-1 (1x2)1-x2 (0x1), |x2-1|dx= (1-x2)dx+ (x2-1)dx=(x- x3) + ( x3-x)=(1- )+( 23 -2)-( -1)=2.【评析评析】 (1)含绝对值的函数实际上就是分段函数.(2)分段函数在区间a,b上的定积分可分成几段定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准.返回目录 |x2-1|=对应演练对应演练x3 x0,1x2 x(1,22x x(2,3在区间0,3上的积分;(2)计算: dx.返回目录 (1
8、)求函数f(x)=(1)由积分性质知f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx= x3dx+ x2dx+ 2xdx= + += .返回目录 返回目录 (2)当x0, 时,=|sinx-cosx|-sinx+cosx 0xsinx-cosx x , = |sinx-cosx|dx= |sinx-cosx|dx+ |sinx-cosx|dx= (-sinx+cosx)dx+ (sinx-cosx)dx=(cosx+sinx) +(-sinx-cosx)=cos +sin -(cos0+sin0)+（-sin -cos ）- （ -sin -cos ）= + -1+(-1)-（-
9、- ）=2 -2.返回目录 考点三考点三 利用定积分几何意义求定积分利用定积分几何意义求定积分 求定积分 .【分析分析】当利用微积分基本定理不能奏效时，需考虑用定积分的几何意义来进行解决.【解析解析】设 , 则x2+y2=1（y0）, 表示由曲线 在0,1上的一段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部分的圆的面积， .【评析评析】用定积分的几何意义求定积分，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关 系.因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本学案内容的关键.返回目录 返回目录 对应演练对应演练求定积分 .令y= ，则(x-3)2+y2=25(y0), 表示由曲线y= 在-2,3上的一
10、段与x轴和直线x=3所围成的面积， = 52= .返回目录 考点四考点四 定积分的应用定积分的应用 求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.【分析分析】先求出抛物线y2=2x与直线y=4-x的交点,将积分区间确定,再求定积分.y2=2xy=4-x解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).解法一:选x作为积分变量,由图可看出S=A1+A2,【解析解析】由方程组在A1部分:由于抛物线的上半支方程为y= ,下半支方程为y=- ，所以= = ,=于是：S= =18.返回目录 返回目录 解法二解法二：选y作积分变量，将曲线方程写为x= 及x=4-y.S=30-12=18.【评析评析】对于求平面图形的面积问题,应首先画出平 面图形的大概图形,然后根据图形的特点,选择相应的积 分变量以确定积分区间,写出图形面积的积分表达式,再 进行求解.对应演练对应演
