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1、 1当自变量x在不同的取值区间(范围)内 取值时 ，函数的对应 法则也不同的函数 为 分段函数是一个函数，不是几个函数，只 是在定义域的不同范围上取值时对应 法 则不同，分段函数是普遍存在又比较重要 的一种函数 2(1)设A、B是两个集合，如果按照某种 对应 关系f，对于集合A中的 一个元素， 在集合B中有 确定的元素和它对应 ， 那么这样 的对应 (包括A、B以及对应 关系 f)叫做集合A到B的映射，记作.分段函数唯一任何f：AB (2)给定一个集合A到集合B的映射时，aA ，bB如果b和a对应 ，那么我们把元素b叫 做 ，元素a叫做b的象原象 本节重点：分段函数概念的理解；映 射定义理解
2、本节难点：函数图象的画法；分段函 数的理解应用；用映射理解函数的定义 (1)分段函数的定义域是各段自变量取值 集合的并集；值域是各段函数值集合的并 集；最大(小)值是各段上最大(小)值中的 最大(小)者研究分段函数常借助图象进 行 (2)映射f：AB包含三个要素：原象集合A ，象集合B(或B的子集)以及从集合A到集 合B的对应 法则f.两个集合A、B可以是数 集，也可以是点集或其它集合对应 法则 f可用文字表述，也可以用符号表示映射 是一种特殊的对应 ，它具有： 方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B的映射与从B到A的映射是不同的； 任意性：集合A中的任意一个元素都有 象，但不要求B中的每一
3、个元素都有原象 ； 唯一性：集合A中元素的象是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一” 分析 图象法是表示函数的方法之一， 画函数的图象时，以定义域、对应 法则 为依据，采用列表、描点法作图总结评述：函数的图象可以是一些线段 ，一段曲线，甚至是一些点表示函数的 式子也可以不止一个，这类 用几个式子表 示的函数叫做分段函数分段函数是一个 函数，而不是几个函数，必须分段画出函 数图象，尤其需注意特殊点 答案 B 例2 设f：MN是集合M到集合N的映 射，下列说法中正确的是 ( ) AM中每一个元素在N中必有元素与之对 应 BN中每一个元素在M中必有元素与之对 应 CM中的元素在N中可以有不同元
4、素与之 对应 DN中的元素在M中若有原象，则原象必 是惟一的 分析 根据映射的定义判断 解析 在映射中允许集合N中的某些元素 在集合M中没有元素对应 ，所以B是错误 的 ；又因为映射中允许集合M中不同元素对 应集合N中相同的元素，就是说可以“多对 一”，因此D也是错误 的M中元素的象是 惟一的，故C错，选A. 答案 B 分析 判断两个集合之间的对应 是否为 映射，只要按照对应 法则f判断，对于集合 A中的任何一个元素，在集合B中是否有惟 一的元素和它对应 解析 在A中，当x3时，|x3|0，于 是A中有一个元素在B中没有元素和它对 应，故不是映射；在C中，集合A中的负 数在B中没有元素和它对应
5、 ，故也不是映 射；(或者x0时，B中对应 元素不唯一) ；在D中，集合A中元素为0时，其倒数不 存在，因而0在B中无对应 元素，故同样 不是映射；B符合定义，故选B. 例3 已知集合AB(x，y)|x、yR ，给定映射f：AB，使得集合A中的元素 (x，y)与集合B中的元素(xy，xy)对应 (1)求A中元素(2,3)的象； (2)求B中元素(2，3)的原象； *(3)判断集合A中是否存在元素与B中形如 (a，a2)的元素对应 ；若存在，求之；若不 存在，说明理由 分析 由对应 法则，可以根据A中元素 与B中元素的对应 关系建立起关于x、y的 方程组其中第(3)问即是判断相应的方 程组是否有
6、解，何时有解总结评述：在一个给定的映射f：AB 中，A中每一个元素在B中都有唯一元素与 之对应 ，但B中元素在A中未必有元素对应 ，即A中元素对应 B中元素的集合实际 上是 集合B的一个子集在涉及元素的对应问 题中，常常需要建立方程组求解 (2)设集合A、B都是正整数集，映射f： AB把集合A中的元素n映射到集合B中的 元素3n2n，则在映射f下，象89的原象是 ( ) A2 B3 C4 D5 答案 (1)D (2)C 点评 (2)验证 次数要尽可能的少，故先 验证 B，若n3时，结果比89小，则排除A 、B.若等于89，则知选B，若大于89，则 选A. 分析 这是已知分段函数的函数值求相 应
7、自变量的值的问题 一般从两个角度思 考：一是先求各段上函数值的取值范围， 再结合所给函数值的大小，确定在哪段上 求解；二是逐段令其值为 已知函数值解出x 的值，看是否满足其取值范围的要求做出 取舍答案 A 例5 上因特网的费用由两部分组成： 电话费 和上网费以前某“热线 ”上因特 网的费用为电话费 0.12元/3分钟，上网费 0.12元/分钟根据信息产业 部调整因特 网资费 的要求，自1999年3月1日起，该地 区上因特网的费用调整为电话费 0.16元/3 分钟，上网费每月不超过60小时，以4元/ 时计 算，超过60小时部分，以8元/时计 算 (1)根据调整后的规定，将每月上因特网的 费用表示
8、为时间 (小时)的函数(每月按30 天计算)； (2)某网民在其家庭经济预 算中一直有一 笔上网60小时的费用开支，因特网资费 调整后，若要不超过其家庭经济预 算中 上网费支出，则该 网民现在每月可上网 多少小时，从涨价和降价的角度分析该地 区调整前后上因特网的费用情况 解析 设调 整后上网x小时的费用为f(x) 元 (1)当0x60时，f(x)0.1620x4x7.2x ； 当x60时，f(x)4600.1620x(x 60)811.2x240. (2)设调 整前上网x小时的费用为g(x)元， 则g(x)0.1220x0.1260x9.6x. 原上网60小时预 算费用为9.660576(元
9、)，由57611.2x240得x72.85(时)，故 该网民现在每月可上网72.85小时 当0x60时，f(x)g(x)； 当x60时，由f(x)g(x)，可得x150. 所以，上网小于150小时时 ，f(x)g(x)； 上网大于150小时时 ，f(x)g(x) 如图，在边长为 4的正方形ABCD的边上 有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点 A(终点)运动，设点P运动的路程为x， APB的面积为 y. (1)求y关于x的函数关系式yf(x)； (2)画出yf(x)的图象； (3)若APB的面积不小于2， 求x的取值范围 (2)yf(x)的图象如图所示 (3)即f(x)2，当0x4时，2x2，x1， 当80时，yf(x)，图对应 的函数 为yf(|x|) 二、填空题 5一等腰三角形的周长为10，底为x，则腰 y与x的函数解析式是_ 解析 将n2,3,4,5分别代入函数式，依 次可得， f(2)f(1)21123， f(3)f(2)22347， f(4)f(3)237613， f(5)f(4)2413821.
