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1、新课标人教版课件系列高中数学必修4121任意角的三角函数 教学目标 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种 三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解 任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与 单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函 数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握 并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角 函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数 值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和 角的终边,探讨任意角的三角函数值的求
2、法,最终得到任意角 三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角 函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要 是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法， 巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都 有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来 定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的 三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发 学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不 利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉 的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且
3、“ 比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实 数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角 函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的 同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角 函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正 确理解.1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第一课时问题提出1.角的概念是由几个要素构成的，具体 怎样理解？ （1）角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形.（2）按逆时针方向
4、旋转形成的角为正角， 按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有 作任何旋转形成的角为零角.（3）角的大小是任意的.2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎 样换算的？（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. 3. 与角终边相同的角的一般表达式 是什么？=k360（kZ）或 （2）180 rad.4.如图，在直角三角形ABC中，sin， cos，tan分别叫做角的正弦、余 弦和正切，它们的值分别等于什么？ABC5.当角不是锐角时，我们必须对 sin，cos，tan的值进行推广， 以适应任意角的需要. 知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1：为了研究方便，我们把锐角 放到直角坐标系中，并使角
5、的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角的终边上取一点P（a，b）,设点 P与原点的距离为r，那么，sin， cos，tan的值分别如何表示？思考2：对于确定的角，上述三个比值 是否随点P在角的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？ xyoP(a，b)rAB思考3：为了使sin，cos的表示式更 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 此时，sin，cos分别等于什么？xyoP(a，b)1思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆 心，以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角的终边上一点P，要使|OP|=1， 点P的位置如何确定？ 的终边OxyP思考5：设是一个任意角，它的终边 与单位圆
6、交于点P（x，y），为了不与 当为锐角时的三角函数值发生矛盾， 你认为sin，cos，tan对应的值 应分别如何定义？ 的终边P(x，y) Oxy思考6：对于一个任意给定的角，按 照上述定义，对应的sin，cos， tan的值是否存在？是否惟一？的终边P(x，y) Oxy正、余弦函数的定义域为R，正切函数的定义域是 思考7：对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 ，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数 ，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个 三角函数的定义域分别是什么？思考8：若点P（x，y）为角终边上任 意一点，那么sin，cos，tan对应 的函
7、数值分别等于什么？P(x，y)Oxy知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考1：当角在某个象限时，设其终 边与单位圆交于点P（x，y），根据三 角函数定义，sin，cos，tan的 函数值符号是否确定？为什么？的终边P(x，y) Oxy思考2：设是一个任意的象限角，那么 当在第一、二、三、四象限时，sin 的取值符号分别如何？cos，tan的 取值符号分别如何？思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表： 三角函数第一象限 第二象限 第三象限 第四象限+你有什么办法记住这些信息？ 思考4：如果角与的终边相同，那么 sin与sin有什么关系？cos与cos有 什么关系？tan与ta
8、n有什么关系？思考5：上述结论表明，终边相同的角的同 名三角函数值相等，如何将这个性质用一组 数学公式表达？公式一： （ )思考6：若sin=sin，则角与的 终边一定相同吗？ 思考7：在求任意角的三角函数值时，上 述公式有何功能作用？可将求任意角的三角函数值，转化为求0 （或0360)范围内的三角函数值. 思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两 种，三角函数是哪一种对应形式？ Oxy理论迁移例1 求 的正弦、余弦和正切值.例2 已知角的终边过点P（3，4）， 求角的正弦、余弦和正切值. OxyP（3，4）例3 求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角. 例4 确定下列三角函数值的符号.
9、（1） ;（2） ;（3） ;（4） ; （5） ;（6） .小结作业1.三角函数都是以角为自变量，在弧度 制中，三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值.2.三角函数的定义是三角函数的理论基 础，三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等，都是在此基础上推导出来的 . 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P（x，y）在终边上 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化，即角的终边绕原点每旋转 一周，函数值重复出现.3.若已知角的一个三角函数符号，则 角所在的象限有两种可能；若已知角 的两个三角函数符号，则角所在的 象限就惟一确定.作业：P15 练习：1，2，5，
10、7.3，4，6 做在书上1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第二课时问题提出 1.设是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P（x，y），角的三角函数 是怎样定义的？2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何 ？ 4.角是一个几何概念，同时角的大小也 具有数量特征.我们从数的观点定义了 三角函数，如果能从图形上找出三角函 数的几何意义，就能实现数与形的完美 统一. 终边相同的角的同名三角函数值相等.知识探究（一）：正弦线和余弦线 思考1：如图，设角为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 ，
11、 都是正数，你能分 别用一条线段表示角的正弦值和余弦 值吗？P（x，y）OxyM思考2：若角为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 ， 都是负数，此时 角的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示？P（x，y）OxyM思考3：为了简化上述表示，我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点，另 一个为终点，使得线段具有方向性，带 有正负值符号.根据实际需要，应如何 规定线段的正方向和负方向？规定：线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向，反向时为负方向. 思考4：规定了始点和终点，带有方向的线 段，叫做有向线段.由上分析可知，当角 为第一、三象限角时，sin、cos可分 别用有向线段MP、
12、OM表示，即MP= sin， OM=cos，那么当角为第二、四象限角 时，你能检验这个表示正确吗？ P（x，y）OxyMP（x，y）OxyM思考5：设角的终边与单位圆的交点 为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称 有向线段MP，OM分别为角的正弦线和 余弦线.当角的终边在坐标轴上时， 角的正弦线和余弦线的含义如何？POxyM Oxy PP思考6：设为锐角，你能根据正弦线和 余弦线说明sincos1吗？POxyMMPOMOP=1知识探究（二）：正切线 AT思考1：如图，设角为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示 角的正切值最合适？POxyMAT思考2：
13、若角为第四象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适？POxyMATAT POxyM思考3：若角为第二象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适？思考4：若角为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适？POxyMATAT思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角 的终边或其反向延长线相交于点T，则 AT=tan.ATOxy PATOxy P思考6：当角的终边在坐标轴上时，角 的
14、正切线的含义如何？Oxy PP当角的终边在x轴上时，角的正切线 是一个点；当角的终边在y轴上时，角 的正切线不存在.思考7：观察下列不等式：你有什么一般猜想？ 思考8：对于不等式 （其中为锐角），你能用数形结合 思想证明吗？POxyMAT理论迁移例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线： （1） ； （2） ；（3） ； （4） .例2 在0 内，求使 成立的的取值范围.OxyPMP1P2例3 求函数 的定义域.OxyP2MP1P小结作业 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变 化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别 是原点O和点A（1，0）.3.利用三角函数线处理三角不等式问题， 是一种重要的方法和技巧，也是一种数形 结合的数学思想.作业：P17 练习：1，2. P21习题1.2A组：5，7.
