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1、数值分析 Numerical Analysis第三章 数据拟合方法 Data fitting郑州大学研究生课程 （2015-2016学年第一学期） 2/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis第三章 数据拟合方法3.1 问题提出 3.2 最小二乘法的基本概念 3.3 线性拟合方法 3.4 非线性曲线的数据拟合3/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.1 问题提出离散数据点插值：插值函数 精确通过每一个数据点。 4/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numer
2、ical Analysis两类实际情况: 离散数据点提出来自试验，具有测量误差，要求插值函数通过所有数据点反而会保留测量误差的影响 。 某些情况下, 只需要找出反映变量变化关系的经验函数，而非精确通过关键点的外形控制函数。3.1 问题提出5/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.1.16/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis已知一组数据(xi, yi), ，i = 1,2, m。yi = f(xi), 构造插值函数(x) 来逼近 f(x), 则有(xi) = f(xi) =
3、yi, i = 1,2, m或记 Q =(x1) , (x2) ,(xm) ), Y = (y1, y2,ym), 则有 Q = Y.如果数据不能同时满足某个特定函数，而要求所求的近似函数“最优地”靠近数据点，即向量Q与Y 的误差的某度量最小。按 Q与Y的误差最小原则作为最优标准所构造出的函数，我们称为拟合函数。3.1 问题提出7/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis定义Q与Y 之间的度量：其中，R 称为均方误差。最小二乘法：按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法。 3.1 问题提出o均方误差 mean squared error，均 方
4、误差是各数据偏离真实值的距离平方的 平均数，也即误差平方和的平均数。8/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.2 最小二乘法的基本概念构造拟合曲线的两个问题：Q: 从哪一类函数族里面选择拟合曲线的形式？A: 根据问题的实际背景，选择逼近 f ( x )的函数族。9/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis数据拟合的模型(x)=a1 1(x) + +an n(x)例如: 1(x) , , n(x)=1, x, , xn-11(x) , , n(x)=1, cos x, , cos (
5、n-1)x3.2 最小二乘法的基本概念10/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical AnalysisQ：如何确定参数a1,a2,an以确定一条拟合曲线呢？A: 按照在数据点处均方误差最小的原则。这种用求解误差函数最小值 问题来确定拟合参数的方法 称为 数据拟合的最小二乘法3.2 最小二乘法的基本概念11/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.2 最小二乘法的基本概念12/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis最小二乘法归结为 求n个未知数的线
6、性代数方程组。3.2 最小二乘法的基本概念13/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis最小二乘法的正规/法方程组 （其解为驻点）3.2 最小二乘法的基本概念14/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis引进矩阵和向量记号3.2 最小二乘法的基本概念15/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.2 最小二乘法的基本概念16/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis 以上正规方程
7、组是否存在唯一解? 正规方程组的解是最小二乘问题的驻点， 此驻点是否就是最小二乘问题的解呢？3.2 最小二乘法的基本概念17/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis可以证明,此解是 最小二乘问题的解.3.2 最小二乘法的基本概念18/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis定理3.2.23.2 最小二乘法的基本概念19/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.3 线性数据拟合方法 已知数据表x x1 x2 xm f(x) y1
8、y2 ym求拟合函数: (x) = a + b xa + b x1 = y1a + b x2 = y2a + b xm = ym超定方程组20/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis2-范数平方残差: rk= (a + bxk) yk ( k = 1,2,m)3.3 线性数据拟合方法 21/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis求 a, b 使 S(a, b)= min3.3 线性数据拟合方法 22/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Ana
9、lysis3.3 线性数据拟合方法 23/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis方程组系数矩阵方程组右端项3.3 线性数据拟合方法 24/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis超定方程组: AX= 正规方程组: ATAX=AT 拟合曲线的法方程(正规方程组)。解之得 a，b。 代入 (x) = a +b x, 即得所求的拟合曲线。3.3 线性数据拟合方法 25/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.3.1 已知实验数据如下
10、,求线性拟合函数。 解: 设拟合曲线方程为 (x)= a + b xx 1 2 3 4 5f(x) 4 4.5 6 8 93.3 线性数据拟合方法 26/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis5a + 15b = 31.515a +55b =108a =2.25, b= 1.35 ATAX=AT3.3 线性数据拟合方法 27/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical AnalysisR=| Q-Y |2 = 0.7583残差向量: (1)4= 0.40 (2)4.5= 0.45 (3)6= 0.30 (
11、4)8=0.35 (5)9= 0 (x)= 2.25+1.35 x3.3 线性数据拟合方法 28/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis例3.3.2 求数据的二次拟合函数 P(x)=a0+a1x+a2x2x 1 2 3 4 5 f(x) 4 4.5 6 8 9 解:将数据点代入, 得3.3 线性数据拟合方法 29/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysisa0=3, a1=0.7071, a2=0.10713.3 线性数据拟合方法 30/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数
12、值分析 Numerical Analysis得 P(x)=3+0.7071x + 0.1071x2二次拟合误差:| Q-Y |2 = 0.6437比较线性拟合误差:| Q-Y |2 = 0.75833.3 线性数据拟合方法 31/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.3 线性数据拟合方法 x0=0:0.1:1;y0=(x0.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0); p3=polyfit(x0,y0,3); vpa(poly2sym(p3),10) x=0:0.01:1;ya=(x.2-3*x+5).*exp(-5
13、*x).*sin(x); y1=polyval(p3,x); subplot(2,1,1),plot(x,y1,x,ya,x0,y0,o),legend(三次拟合 曲线,原函数曲线,样本点) p4=polyfit(x0,y0,4); y4=polyval(p4,x); p5=polyfit(x0,y0,5); y5=polyval(p5,x); p8=polyfit(x0,y0,8); y8=polyval(p8,x); subplot(2,1,2),plot(x,y4,x,x,y5,-,x,y8,:,x,ya,-) legend(四次拟合曲线,五次拟合曲线,八次拟合曲线, 原函数曲线) vp
14、a(poly2sym(p8),5)32/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.3 线性数据拟合方法 n 次多项式拟合33/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis34/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis3.4 非线性曲线的数据拟合问题提出：离散点图呈非线性。35/41 郑州大学研究生2015-2016学年课程 数值分析 Numerical Analysis1. 双曲型曲线将给定数据(xi, yi)转换为(ui, vi),求出a, b,再代回原变量y, x，可求得原非线性拟合曲线。类似的，
