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1、2.4 介质中的高斯定律 电位移矢量 一、极化与极化强度矢量 1）介质质极化有关概念介质：内部存在不规则而迅速变化的微观电磁场的带电系统 电偶极子和电偶极矩：介质分子的分类：无极分子和有极分子。 在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性 介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩电偶极子：由两个相距很近的带等量异号电量的点 电荷所组成的电荷系统。电偶极矩 ：表示电偶极子。用极化强度矢量 表示电介质被极化的程度。 式中： 表示i个分子极矩。 物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。 说明：对于线性媒质，介质的极化强度和外
2、加电场成正比关系，即 2）极化强度矢量 二、极化电荷（束缚电荷）媒质被极化后，在媒质体内和分界面上会 出现电荷分布，这种电荷被称为极化电荷。 由于相对于自由电子而言，极化电荷不能自 由运动，故也称束缚电荷。 体内出现的极化电荷成为体极化电荷，表 面上出现的极化电荷称为面极化电荷。 介质被极化后，分子可视作一个电偶极子 设分子的电偶极矩p=ql。取如图所示体积元 ，其高度 等于分子极矩长度。1）体极化电荷则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元dS在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为穿出整个S面的电荷量为： 由电荷守恒和电中性性质，S面所围电荷量为 2）面极化电荷在介
3、质表面上，极化电荷面密度为 式中： 为媒质极化强度 为媒质表面外法向单位矢量 介质1介质2n讨论：若分界面两边均为媒质，则真空、金属（1）介质2是电介质而介质1是真空:（2）介质2是电介质而介质1是金属:对介质极化问题的讨论1）极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷 2）由电荷守恒定律，极化电荷总量为零； 3）P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极 化电荷只会出现在介质表面上 4）均匀介质内部一般不存在极化电荷 2-4-2 有电介质时的高斯定理 电位移同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场总电场束缚电荷自由电荷高 斯考虑关系n把静电场Gauss定理变换一下 电位移矢量 S面内包
4、围的自 由电荷电位移矢量 通量同时描述电场和电介质极化的复合矢量。有电介质时的 高斯定理如果把真空看作电介质的特例有电介质时的高 斯定理积分形式高斯散度定理有介质高斯定理微分形式nD的Gauss定理：有电介质存在时，通过电介质 中任意闭合曲面的电位移通量，等于闭合曲面所 包围的自由电荷的代数和，与极化电荷无关n公式中不显含P、q、E，可以掩盖矛盾，但没有 解决原有的困难n若q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求出 D，但由于不知道P，仍然无法求出En需要补充D和E的关系式，并且需要已知描述 介质极化性质的极化率e，对于各向同性线性 介质,有n真空 中 n有介质的问题总体上说，比较复杂n但就各
5、向同性线性介质来说，比较简单。相对介电常数（与真空相对）介 电 常 数n一般 1 2 与等价!3 以上讨论对任何形状的电介质都成立。2环路定理束缚电荷q束产生的电场与 自由电荷q产生的电场相同保守力场说明：电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。电力线起始于正电荷终止于负电荷。包括自由 电荷和与束缚电荷。电位移线：线上每一点的切线方向和该点电位移 的方向相同，并规定在垂直于电位移线的单位面积上 通过的电位移线数目等于该点的电位移的量值电位移线与电场线性质不同。+电场线电位移线2-4-3 有电介质时的静电场的基本方程积分方程：微分方程：本构方程：有电介质存在时的高斯定理的应用
6、（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。3 解题一般步骤：由q自例题1 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无 限大”电介质（介电常数为），求球外任一点P的场强及极化电荷分布。 解: 根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。如图所示，过P点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 球面S，由高斯定理知RQ0rPS所以写成矢量式为, 所以离球心r 处
7、P点的场强为因结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介 质后，其场强减弱到真空时的1/r倍.同时可求出电极化强度为RQ0rPS其B点的电荷面密度为B讨论:1. 2. 即交界面上极化电荷面密度在数 值上一定小于自由电荷面密度.3. 交界面上总的电荷面密度为即总电荷面密度减小到自由电荷面密度的这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/r倍的原因。D电介质金属板例题2 平行板电容器两板如图所示，两板极之间充满 介电常数为的电介质,电容器两板极上自由电荷面密度 为01 和02 (02= -01 )。求（1）电介质中的电场，交界面 的（2）电容器的电容.介质左右的极化电荷面密度为:极化电荷面密度与自由
8、电荷密度异号,且绝对值比后者小.解:D电介质金属板(2)电容器的电容例题：圆心在原点，半径为R的介质球，其极化强 度 ，试求此介质球内束缚电荷密度 和球表面束缚面电荷密度。解：在球坐标系中，由于极化强度只与r有关，具 有球对称性，所以分析：驻极体是指外场消失后，仍保持极 化状态的电介质体。解：在驻极体内：驻极体在表面上：求半径为a，永久极化强度为 的球形驻极体中的极化电荷 分布。已知：例半径为a的球形电介质体，其相对介电常数 , 若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。解：由高斯定律，可以求得在媒质内：体极化电荷分布:面极化电荷分布:例在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的z分量为 ，极化强度
9、 求：介质中的电场强度 和电位移矢量 。解：由定义，知：例3.5 介质中的高斯定律 边界条件 一、介质静电场基本方程 真空中的高斯定律：在介电常数为 的介质中，类似地，有：介质中的高斯定律 在介质中，静电场仍然为保守场介质中的环路定律 二、介质的电位方程 在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）介质中的泊松方程 三、静电场的边界条件 在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变 分界面两边电场按照某种规律突变，称这种突变关系为电场的边 值关系或边界条件 推导边界条件的依据是静电场基本方程的积分形式1) 的边界条件 在分界面上取一个扁盒，将 应用于此盒，并考虑h0，得为分界面上自由电荷面密度
10、，不包括自由极化电荷。 若媒质为理想媒质，则 ， 满足边界条件对 边界条件的讨论结论一：若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。 电位移法向分量的不连续，与分界面的自由面电荷的存在有关电位移法向分量的边界条件用电位可表示为当分界面的自由面电荷不存在，电位移法向分量连续对于各向同性的线性介质，有 此式表明：在两种各向同性的线性介质形成的边界上电场强度的法向分量不连续。 可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为 在S = 0时，电位移法向分量的边界条件用电位可 表示为2) 的边界条件 在分界面上作一矩形回路，将 用于此回路，且考虑h0，得结论二：在两种媒质分界面上， 切向连续。 对于各向同性
11、的线性介质 电场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，用电位可表 示为 在边界上，电位移的切向分量是不连续的。 设区域 1 和区域 2 内电场线与法向的夹角分别为1、2，分界面处的折射定理 折射定理表明，电场线在分界面上通常要改变方向。在S = 0时，由电位移法向分量和场强的切向分量的边界条 件有： 理想媒质和导体的静电场边界条件理想介质分界面的边界条件（ ） 理想介质：导电率为0的媒质。因此在理想介质内部和表面 均不存在自由电荷分布，故边界条件为： 导体边界条件 在导体内部，不存在静电场。故静电场导体边界为 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间 充满介电常数分别为 和 的两种理
12、想介质，分界面半径为 c。已知外导体接地，内导体电压为U。 求:(1)导体间的 和 分布； (2)同轴线单位长度的电容 分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可 知，在媒质两边 连续 解：设内导体单位长度带电量为 由高斯定律，可以求得两边媒质中， 例 球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充 满介电常数为 和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外 球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 分析：电场平行于介质分界面，由边界条件 可知，介质两边 相等。 解：令电场强度为 ，由高斯定律 例 n小结：应用高斯定理求解静电场边值问题步骤 ：n 根据电荷分布，判断电场方向n 判断电场方向与边界面关系（垂直或相切）n 应用边界条件，判断是 连续还是 连续n 应用高斯公式求解，一般用 求解
